¿Por qué es $\pi^0$ creado en la alta energía de la colisión $p+p\to p+p+\pi^0$?
Respuesta
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Sólo combinando todos los comentarios y proporcionar algunos más explícitos los cálculos, hemos de conservación de cuatro impulso (que es el resultado de la fusión de la conservación de la energía y la conservación del momento), tenemos:
$$p^{\mu}_{1}+p_{2}^{\mu}=p_{1}'^{\mu}+p_{2}'^{\mu}+p_{\pi}^{\mu}$$
Tomando el producto interior de cada lado con la misma, obtenemos:
$$\left\langle p_{1}^{\mu}\middle|p_{1}^{\mu}\right\rangle+2\left\langle p_{1}^{\mu} \middle| p_{2}^{\mu}\right\rangle+\left\langle p_{2}^{\mu}\middle|p_{2}^{\mu}\right\rangle=\left\langle p_{1}'^{\mu} \middle| p_{1}'^{\mu}\right\rangle + 2\left\langle p_{1}'^\mu \middle| p_{2}'^{\mu} \right\rangle + 2\left\langle p_{1}'^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu}\right\rangle + \left\langle p_{2}'^\mu \middle| p_{2}'^{\mu} \right\rangle + 2\left\langle p_{2}'^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu} \right\rangle + \left\langle p_{\pi}^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu}\right\rangle$$
Tomamos nota de que $p^{\mu}p'_{\mu}=\left\langle p^{\mu} \middle| p'^{\mu}\right\rangle$ es invaraiant en todos los marcos de referencia y que $p^{\mu}p_{\mu}=m^{2}c^{2}$, por lo tanto, podemos simplificar:
$$2m_{p}^{2}c^{2}+2\left\langle p_{1}^{\mu} \middle| p_{2}^\mu \right\rangle = 4m_{p}^{2}c^{2}+4m_{p}m_{\pi}c^{2}+m_{\pi}^{2}c^{2}$$
Si tenemos en cuenta que el segundo protón está inicialmente en reposo tenemos: $p_{1}^{\mu}=\left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)$ y por tanto:
$$2m_{p}E=2m_{p}^{2}c^{2}+4m_{p}m_{\pi}c^{2}+m^{2}_{\pi}c^{2}$$
Reordenando, se obtiene:
$$E=m_{p}c^{2}+2m_{\pi}c^{2}+\frac{m_{\pi}^{2}c^{2}}{2m_{p}}$$
Gracias a las constantes $m_{p}=938\text{ MeV}/c^{2}$$m_{\pi}=139.6\text{ MeV}/c^{2}$, obtenemos:
$$E=1.228 \text{ GeV} \implies T = 289 \text{ MeV}$$
Así que si un protón con 289 MeV de energía cinética chocó con un estacionario de protones, existe la posibilidad de que un pion será producida.
