Homología de Morse de $P^2$

Question

He visto y trabajado el cálculo explícito de la homología Morse de la esfera y el toro (con signos y todo). Pero al intentarlo para $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ me ha llevado a callejones sin salida. ¿Existe un cálculo completamente elaborado para este plano proyectivo (con signos y todo, para $\mathbb{Z}$ -coeficientes)?

Para empezar, la función Morse a utilizar es $f(x_1,x_2,x_3)=i(|x_1|^2+|x_2|^2+|x_3|^2)$ en coordenadas homogéneas en $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ . En cada barrio $U_1,U_2,U_3$ ( $U_i$ denota el conjunto de coordenadas $(x_1,x_2,x_3)$ donde $x_i\ne 0$ ) hay un punto crítico, a saber $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ respectivamente, de índice Morse 1,2,3 respectivamente. Quizás el cálculo de la homología sea más fácil con una función diferente.

Answer 1

En el caso de $RP^2$ usted define $f([x:y:z])=ax^2+by^2+cz^2$ para $a<b<c$ . Aquí se piensa en $[x:y:z]$ como normalizado para que $x^2+y^2+z^2=1$ ; tenga en cuenta que $f$ está bien definida. En un gráfico de coordenadas $x\neq 0$ ves que el único punto crítico allí es $[1:0:0]$ . Del mismo modo, en otros dos gráficos se obtienen los puntos $[0:1:0]$ y $[0:0:1]$ . La imagen aproximada del flujo

Se ve que hay dos líneas de flujo desde el máximo hasta el sillín y desde el sillín hasta el mínimo. Sabemos que el máximo a la silla es del mismo signo y la silla al mínimo es de signo contrario porque conocemos la respuesta; si no la conociéramos podríamos orientar los colectores descendentes, digamos en sentido contrario a las agujas del reloj para el máximo, y en sentido contrario a las agujas del reloj para la silla - a la derecha en la parte inferior y a la izquierda en la superior; y + para el mínimo. No tenemos una orientación ambiental, por lo que tenemos que tener cuidado. Las convenciones de orientación (ver por ejemplo las notas de Hutchings) dicen que debemos usar el flujo a lo largo de la trayectoria para transportar la orientación del colector descendente y orientar el $TM_{pq}$ para que $TD_p=TM_{pq}\oplus T\gamma \oplus TD_q$ . Para el máximo esto da una orientación + para ambas líneas de flujo; para el sillín ya que $T\gamma$ tiene diferentes oriantaciones, obtenemos un + y un -.