Campos de matanza conformes especiales - resolución de curvas integrales.

Question

Para cada $b\in\mathbb R^d$ , dejemos que un campo vectorial $X_b:\mathbb R^d\to\mathbb R^d$ se definirá de la siguiente manera: \begin{align} X_b(x) = 2(b\cdot x)x - x^2 b, \end{align} donde $x^2 = x\cdot x$ . Este es el campo de matanza conforme que genera transformaciones conformes especiales.

¿Cómo se resuelven las curvas integrales de este monstruo?

Al parecer, la respuesta (local) (que sólo he visto sacada mágicamente de un sombrero) es la siguiente: \begin{align} x(t) = \frac{x_0 - x_0^2(tb)}{1-2x_0\cdot(tb) + x_0^2(tb)^2} \tag{$\star$} \end{align} ¿Cómo se puede llegar a esto, al menos de forma sistemática? El sistema de EDOs que hay que resolver es no lineal y está acoplado; no sé cómo empezar a atacarlo.

Nota: eq. $(\star)$ escrito y discutido brevemente en

Introducción matemática a la teoría de campos conformes por Schottenloher, 2ª ed., p. 17.

También está por todas partes en la literatura de física teórica, donde se ven afirmaciones en el sentido de "integrar la versión infinitesimal de la transformación conforme especial da..." y luego $(\star)$ está escrito.

¡Progreso! Creo que casi lo he resuelto usando un complicado cambio de variables. Queremos resolver \begin{align} \dot x = 2(b\cdot x)x - x^2 b. \end{align} Hacer un cambio de variables \begin{align} y = \frac{x}{x^2} \end{align} y tras un poco de álgebra, se demuestra que $y$ satisface \begin{align} \dot y = -b \end{align} que tiene como solución \begin{align} y = y_0 - tb, \end{align} así que ahora sólo tenemos que resolver la ecuación algebraica \begin{align} \frac{x}{x^2} = \frac{x_0}{x_0^2} - tb. \end{align} La solución citada anteriormente ciertamente lo resuelve, pero ¿cómo se resuelve esta ecuación "desde cero"?

Solución Como señala, @ HunsLundmark la ecuación algebraica \begin{align} \frac{x}{x^2} = A \end{align} se puede resolver fácilmente para dar $x = A/A^2$ Así pues, el establecimiento de $A = x_0/x_0^2-tb$ da el resultado deseado.

Answer 1

1. Introducir una nueva variable independiente $s=bt$ para deshacerse de $b$ y con el fin de suponer que el vector $b$ puntos a lo largo de $e_1$ , $b=be_1$ : $$ \frac{dx}{ds} = 2x_1x-x^2e_1, $$ $$ \dot x_1 = x_1^2-x_2^2-\cdots-x_n^2, \qquad \dot x_i = 2x_1x_i, $$ donde, como $x_1$ es especial, el índice $i$ se extiende sobre $2,\ldots,n$ .

2. Introducir el cambio de variables $(z, w) = \left(x_1, (\sum_i x_i^2)^{1/2}\right)$ por lo que tenemos que resolver $$ \dot z = z^2-w, \qquad \dot w = 4zw. $$ Diferenciar $\dot z$ para conseguir $$ \ddot z = 6z\dot z-4z^3. $$

3. Aquí hice trampa y utilicé Mathematica: da la solución general como $$ z(s) = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s+\gamma} + \frac{1}{s+\bar\gamma}\right), $$ donde $\gamma = \alpha + i\beta$ es una constante compleja.

3a. Otra forma es buscar polos de $z$ sustituyendo $z(s)=a(s+\gamma)^b$ , que se expande en series de Laurent en $s=-\gamma$ y observando que la ecuación de orden principal resultante $$ a b(b-1)(s+\gamma)^{b-2} = 6a^2b(s+\gamma)^{2b-1}-4a^3(s+\gamma)^{3b} $$ tiene soluciones $b=-1$ y $a=0, -\frac12, -1$ . También hay que tener en cuenta que la serie de serie de Laurent en $s=\infty$ también da $z\sim -(\text{$ 1 $ or $ |frac12 $})s^{-1}$ . Una función diferenciable compleja con sólo singularidades regulares en $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ debe ser racional, por lo que sólo $a=-1$ con un polo y $a=-\frac12$ con dos polos tiene sentido. Una función racional con dos polos de orden 1 y finita en $\infty$ debe ser la suma de sólo los dos términos de los polos, como en el caso anterior. Como $z$ debe ser real, el segundo polo es $\bar\gamma$ . No es completamente riguroso, pero es suficiente.

4. Integración de $w$ es fácil: $$ (\log w)' = 4z, \qquad w(s) = w(0)\left( \frac{\alpha^2+\beta^2}{(s+\alpha)^2+\beta^2} \right)^2. $$

Sustituyendo $z, w$ en $\dot z$ da la relación entre $\alpha$ y $\beta$ : $$ \frac{\alpha^2-\beta^2}{(\alpha^2+\beta^2)^2} = z_0^2-w_0, $$ por lo tanto $$ \gamma = \frac{-1}{z_0+i w_0}, \qquad \Re\gamma = \frac{-z_0}{z_0^2+w_0^2}. $$

Integración de $x_i$ es tan fácil como $w$ : $$ x_i(s) = x_i(0) \frac{\gamma\bar\gamma}{(s+\gamma)(s+\bar\gamma)}. $$

5. Por último, escribirlo en su totalidad, dejando $\rho_0^2 = x_1(0)^2+\cdots+x_n(0)^2$ : $$\begin{aligned} \vec x &= \frac{1}{(s+\gamma)(s+\bar\gamma)} \left(-(s+\Re\gamma)e_1+x_i(0)\gamma\bar\gamma \right) \\&= \frac{-(s\rho_0^2-z_0)e_1 + x_i(0)}{\rho_0^2(s+\gamma)(s+\bar\gamma)} \\&= \frac{\vec x(0) - s\rho_0^2e_1}{1-2z_0s+\rho_0^2s^2}. \end{aligned}$$

Esto es claramente idéntico a su fórmula, una vez $t=s/b$ y $b=be_1$ son sustituidos de nuevo.