Hace una suave transición "función" con delimitada derivados de existir?

Question

¿Existe una función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tener las siguientes propiedades?

• $f(x) = 0$ todos los $x \le 0$.
• $f(x) = 1$ todos los $x \ge 1$.
• Para $0 < x < 1$, $f$ es estrictamente creciente.
• $f$ está en todas partes $C^\infty$.
• La secuencia de $L^\infty$ normas $\langle \left\lVert f \right\rVert_\infty, \left\lVert f' \right\rVert_\infty, \left\lVert f'' \right\rVert_\infty, \dots \rangle$ está acotada.

Si imponemos sólo las cuatro primeras condiciones, hay un conocido respuesta: para $0 < x < 1$, definir $f(x)$ por $$ f(x) = \frac{e^{-1/x}}{e^{-1/x} + e^{-1/(1-x)}} = \frac{1}{1 + e^{1/x - 1/(1-x)}} $$ Sin embargo, los derivados de esta función aparecen a crecer muy rápidamente. (No estoy seguro de cómo comprobar esto, pero parece que al menos exponencial para mí.)

Si una función no existe, ¿cuál es la menor de la orden de crecimiento asintótico que la secuencia de $\langle \left\lVert f \right\rVert_\infty, \left\lVert f' \right\rVert_\infty, \left\lVert f'' \right\rVert_\infty, \dots \rangle$ puede tener?

Answer 1

Supongamos $f$ satisface sus primeras cuatro hipótesis. Por el valor medio teorema, hay algunos $x_1\in (0,1)$ tal que $f'(x_1)=1$. Luego hay algunos $x_2\in(0,x_1)$ tal que $f''(x_2)=1/x_1$, y, a continuación, hay algunos $x_3\in(0,x_2)$ tal que $f'''(x_3)=1/x_1x_2>1/x_1^2$, y así sucesivamente. Por inducción, vemos que tenemos puntos de $x_n$ tal que $f^{(n)}(x_n)>1/x_1^n$ todos los $n$. Por lo tanto las normas $\|f^{(n)}\|_\infty$ debe crecer al menos de manera exponencial en $n$.

Por más cuidadoso argumento, se puede mostrar que, de hecho, los derivados deben crecer factorially. Más precisamente, si $\|f^{(n)}\|_\infty=M$, obtenemos que para cualquier $x$, $|f^{n-1}(x)|\leq Mx$, y luego llegamos $|f^{n-2}(x)|\leq Mx^2/2$, y así sucesivamente, hasta el $|f(x)|\leq Mx^n/n!$. De ello se sigue que, si existe una constante $c>0$ tal que $\|f^{(n)}\|_\infty<c^nn!$ todos los $n$, $f(x)=0$ cualquier $x<c$. Pero, a continuación, en sustitución de $f(x)$$g(x)=f(x-c)$, obtenemos que $f(x)=0$ todos los $x<2c$, y la iteración esto conseguimos que el $f$ se desvanece en todas partes. Así que las normas $\|f^{(n)}\|_\infty$ debe crecer más rápido que $c^nn!$ todos los $c>0$.

Answer 2

Si la secuencia de la infinidad de normas $\{\|f^{(n)}\|_{\infty}\}_{n = 0}^{\infty}$ es acotado, es decir, existe una constante $M$ tal que para todo $n \in \mathbb{N}_0$, $|f^{(n)}(x)| \le M$ para todos los $x \in \mathbb{R}$, luego por este teorema $f$ es analítica.

Sin embargo, si una analítica de la función es $0$ sobre cualquier intervalo de tiempo (como $(-\infty,0)$), su desarrollo en serie de Taylor alrededor de cualquier punto de ese intervalo es idéntica $0$. Entonces, desde el $f$ es analítica, la serie de Taylor converge a $f$ en todas partes, es decir,$f \equiv 0$.

Por lo tanto, no existe una función.