Integrando $\int_0^ex^{1/x}\ \mathrm dx$

Question

Calcula $$\int_0^ex^{1/x}\;\mathrm dx.$$

Hay una antiderivada analítica que se encuentra en esta respuesta . ¿Cómo se calcula esto?

Utilizando el enfoque de la antiderivada tenemos

$$\int x^{1/x}\;\mathrm d x=x + \frac{\log^2x}{2}-\sum^\infty_{n=2}\sum^n_{k=0}\frac{\log^{n-k}x\;}{x^{n-1}(n-k)!(n-1)^{k+1}}+C$$

Ahora hay un problema para esta antiderivada ya que se acerca $0$ (aparente de la $\log$ s). No sé cómo probar esto pero si $f(x)=x^{1/x}$ y $\lim_{x\to0}f(x)=0$ se puede definir entonces quiero decir que $\lim_{x\to0}F(x)=0$ . Asumiendo mi lógica no rigurosa y algo de lógica de este pregunta que tenemos $$\int_0^ex^{1/x}\;\mathrm dx=\sum _{n=2}^{\infty } \frac{ \Gamma (n+1,\;n-1)}{(n-1)^{n+1}\;n!}+\frac{1}{2}+e$$

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Actualización: Usando Mathematica he calculado algunas integrales numéricas para encontrar que $F(0)\approx1.53328$ . Por lo tanto, tenemos $$\int_0^ex^{1/x}\;\mathrm dx=\sum _{n=2}^{\infty } \frac{ \Gamma (n+1,\;n-1)}{(n-1)^{n+1}\;n!}+\frac{1}{2}+e-\lim_{x\to0}\int x^{1/x}\;\mathrm dx$$

Answer 1

Esta es la forma en que un físico aborda el problema.

En primer lugar, el cambio de variable $x=\frac{1}{y}$ da:

$$\int_0^ex^{1/x}\;\mathrm dx=\int_{\frac{1}{e}}^{\infty}\frac{y^{-y}}{y^2}dy$$

Ahora, como primera aproximación, utilizamos la siguiente desigualdad:

$$\int_{\frac{1}{e}}^{\infty}\frac{y^{-y}}{y^2}dy<\int_{\frac{1}{e}}^{\infty}\frac{y^{-\frac{1}{e}}}{y^2}dy=\int_{\frac{1}{e}}^{\infty}y^{-\frac{1}{e}-2}dy=\frac{e^{2+\frac{1}{e}}}{e+1}$$

Finalmente:

$$0<\int_0^ex^{1/x}\;\mathrm dx<\frac{e^{2+\frac{1}{e}}}{e+1};\;e>0$$

Este resultado es probablemente mejorable.

Answer 2

ISC para 2,66182570538 rinde sólo $$ {\frac {7}{8}}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{60}{ 6\,{5}^{n}+8\,{n}^{3}- 3\,{n}^{2}+7\,n } $$ que es quizás más simple que su doble suma.

Answer 3

La respuesta es aproximadamente 2,66183. Espero que esto ayude. Lo he evaluado, pero soy nuevo en el sitio web y no estaba seguro de cómo escribir los cálculos.