La probabilidad de un punto tomado de una cierta distribución normal será mayor que un punto de toma de otra?

Question

Digamos que tengo un punto que va a ser tomados al azar de una distribución normal con media de $\mu_1$ y la desviación estándar $\sigma_1$. Digamos que tengo otro punto que se toma mucho en la misma manera que de otra distribución normal con media de $\mu_2$ y la desviación estándar $\sigma_2$;.

¿Cómo puedo calcular la probabilidad de que, dado $\mu_1$, $\mu_2$, $\sigma_1$, y $\sigma_2$, que mi primer punto será más grande que el segundo?

Yo soy el tipo de interés en el razonamiento que hay detrás de una "analítica" de respuesta (o como analítica como usted puede conseguir posiblemente con la distribución normal, que no es mucho), pero yo soy más importante que buscan un algoritmo de calcular esta probabilidad, ya que se utilizará en una simulación de modelo.

¿Alguien sabe donde podría empezar a trabajar en el razonamiento a través de esto?

Nota: Para calcular en tiempo real, tener una tabla de valores de la % de la curva dentro de un determinado múltiplo de la desviación estándar es factible en mi situación.

Answer 1

Supongamos que $X_1 \sim {\rm N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ $X_2 \sim {\rm N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ son independientes. A continuación, $$ {\rm P}(X_1 > X_2 ) = {\rm P}(X_1 - X_2 > 0) = 1 - {\rm P}(X_1 - X_2 \le 0). $$ Ahora, por la independencia, $X_1 - X_2$ se distribuye normalmente con una media de $$ \mu := {\rm E}(X_1 - X_2) = \mu_1 - \mu_2 $$ y la varianza $$ \sigma^2 := {\rm Var}(X_1 - X_2) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2. $$ Por lo tanto, $$ \frac{{X_1 - X_2 - \mu}}{{\sigma}} \sim {\rm N}(0,1), $$ y así $$ {\rm P}(X_1 - X_2 \le 0) = {\rm P}\bigg(\frac{{X_1 - X_2 - \mu }}{\sigma } \le \frac{{0 - \mu }}{\sigma }\bigg) = \Phi \Big( \frac{-\mu }{\sigma }\Big), $$ donde $\Phi$ es la función de distribución de la ${\rm N}(0,1)$ distribución. Por lo tanto, $$ {\rm P}(X_1 > X_2 ) = 1 - {\rm P}(X_1 - X_2 \le 0) = 1 - \Phi \Big( \frac{-\mu }{\sigma }\Big). $$