¿Por qué es $\{a + b\sqrt2 + c\sqrt3 : a\in\Bbb{Z}, b, c \in\Bbb{Q}\}$ no es cerrado bajo la multiplicación?

Question

El conjunto $R = \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}: a \in \Bbb{Z}, c, b \in \Bbb{Q}\}$ no está cerrado en la multiplicación, mi libro de texto de los estados. ¿Por qué es esto?

Y relacionado con eso: ¿por qué entonces es $S = \{a + b\sqrt{2} : a, b \in \Bbb{Z}\}$ cerrado bajo la multiplicación?

Pensé que la siguiente, pero estoy totalmente seguro acerca de la corrección: En una multiplicación de dos números de $S$ se parece a esto: $(\Bbb{Z} + \Bbb{Z}\sqrt{2}) \cdot (\Bbb{Z} + \Bbb{Z}\sqrt{2})$ es de la forma $\Bbb{Z}² + 2\Bbb{Z}\Bbb{Z}\sqrt{2} + 2\Bbb{Z}$. Porque cualquier $\Bbb{Z}^2$, se obtiene un número entero, $2\Bbb{Z}$ de los rendimientos de un entero y $2\Bbb{Z}\Bbb{Z}\sqrt{2}$ los rendimientos de una $\Bbb{Z}\sqrt{2}$, el resultado puede ser expresado como $a + b\sqrt{2} : a, b \in \Bbb{Z}$ y por lo tanto el conjunto es cerrado bajo la multiplicación.

Sin embargo, un argumento similar podría funcionar también para $R$ derecho?

Agradecería la respuesta, así como cualquier comentario sobre la corrección formal de mis argumentos.

Answer 1

Yo creo que se quiere mostrar a $\sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}\notin R$.

Answer 2

El concepto subyacente es el grado de extensión - que es la misma que la dimensión de la extensión como un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$.

Se extiende por cualquiera de las $\sqrt 2$ o $\sqrt 3$ produce una extensión de grado $2$. Cuando ampliamos por tanto los grados que se multiplican para obtener una extensión de grado $4$. La formulación de dar ha pretendido grado 3 con base $\{1, \sqrt 2, \sqrt 3\}$ - de modo que cuando usted sabe acerca de los grados de extensiones usted sabrá que usted está mirando para otro fundamento elemento (como el excelente aceptado responder a las notas de $\sqrt 6$ es la opción obvia - y esto muestra por qué $4$ es el título natural).

Hay mucho que aprender acerca de cómo funciona esto, y las condiciones bajo las cuales los grados de multiplicar (la cual está íntimamente ligada con la factorización de polinomios). Existen extensiones de grado $3$, pero no se pueden cuadrática extensiones, o contienen cuadrática elementos, debido a que un elemento cuadrático siempre deja un factor de $2$ detrás.

Answer 3

Supongamos $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0$ donde $\gcd(a,b,c,d)=1$. Entonces $$ a^2+2ab\sqrt2+2b^2=3c^2+6cd\sqrt2+6d^2\etiqueta{1} $$ Desde $\sqrt2\not\in\mathbb{Q}$, $(1)$ implica $$ ab=3cd\etiqueta{2} $$ y $$ a^2+2b^2=3(c^2+2d^2)\etiqueta{3} $$ $(2)$ implica que $$ 3\mid\text{ o }3\mediados de b\etiqueta{4} $$ y, en consecuencia, $(3)$ $(4)$ implica que $$ 3\mid\text{ y }3\mediados de b\etiqueta{5} $$ $(2)$ $(5)$ implica que $$ 3\mediados de c\text{ o }3\mediados de la d\etiqueta{6} $$ $(3)$, $(5)$, y $(6)$ implica que $$ 3\mediados de c\text{ y }3\mediados de la d\etiqueta{7} $$ Así, $3\mid\gcd(a,b,c,d)$. $\quad\rightarrow\leftarrow\quad\square$

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$\{a+b\sqrt2:a,b\in\mathbb{Z}\}$ es cerrado bajo la multiplicación ya que $$ (a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2 $$

Answer 4

Supongamos $\sqrt 6$ pertenece a $R$, es decir, $\sqrt 6 = a + b \sqrt 2 + c \sqrt 3$$a\in \mathbb Z$, e $b, c \in \mathbb Q$. El cuadrado ambos lados, vemos a $6 = a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 2 ab \sqrt 2 + 2 ac \sqrt 3 + 2 bc \sqrt 6$. Conectar nuestra expresión para $\sqrt 6$ en esta segunda ecuación, tenemos $6 = a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 2 ab \sqrt 2 + 2 ac \sqrt 3 + 2 bca + 2b^2c \sqrt 2 + 2bc^2\sqrt 3$. Es fácil ver $\sqrt 2 \notin \mathbb Q(\sqrt 3)$ (una más fácil aplicación de la misma prueba por contradicción estoy haciendo aquí). Esto nos dice que los coeficientes de $\sqrt 2$ $\sqrt 3$ total a 0, es decir, $ab + b^2c = 0$$ac + bc^2 = 0$. Si $b=0$, $a$ o $c$ igual a 0, y obtenemos una contradicción (se puede ver por qué?). Nos encontramos con una similar contradicción si $c=0$. Si $b\neq 0$ y $c \neq 0$, $a = -cb$. A continuación,$6 = 2b^2 + 3c^2 + 3b^2c^2$. Puesto que usted tiene que $a = -bc\in \mathbb Z$, se puede ver que $(bc)^2 = 1$, más el $3 b^2c^2$ plazo es de al menos 6, por lo que la suma de la derecha supera los 6. Pero si $bc = 1$ o $-1$, $b$ o $c$ va a ser mayor que (o igual a) 1. Espectáculo $2(1/c^2) + 3 (c^2)$ supera los 3 (encontrar el mínimo global y ver que este es mayor que 3).