Por qué: Una holomorphic función de la constante de magnitud debe ser constante.

Question

Cómo puedo probar la siguiente afirmación?

Deje que f sea una holomorphic función tal que |f| es una constante. Entonces f es constante.

Edit: El más elemental de la prueba, la mejor. Estoy trabajando mi camino a través de un análisis complejo de libro, y por este ejercicio, la única sustancial de la cosa tratados ha sido el de Cauchy-Riemann ecuaciones.

Answer 1

Si $|f|$ es constante, entonces la imagen de a $f$ es un subconjunto de un círculo en $\mathbb{C}$. Solicitar la Asignación Abierta Teorema.

Answer 2

De otra manera: si $f(z_0) = u_0$$f'(z_0) = p \ne 0$, considerar la derivada direccional de $|f(z)|^2 = f(z) \overline{f(z)}$ $z_0$ en la dirección de algunos complejos de número de $q$, es decir, $$ \eqalign{\frac{d}{dt} \left(f(z_0 + tq) \overline{f(z_0 + tq)}\right) y= f(z_0 + tq) \overline{\frac{d}{dt} f(z_0 + t q)} + \overline{f(z_0 + tq)} \frac{d}{dt} f(z_0 + t q) \cr y= f(z_0 + t q) \overline{ p, f'(z_0 + t q)} + \overline{f(z_0 + tq)} q f'(z_0 + t q)\cr}$$ En $t=0$ esto sería $u_0 \overline{q p} + \overline{u_0} q p = 2 \text{Re}(u_0 \overline{qp})$. Si $u_0 \ne 0$$p \ne 0$, elija $q = u_0/p$$2 |u_0|^2 > 0$. Pero eso es imposible si $|f(z_0)|^2$ es ser constante. Así que o $u_0 = 0$ (y, a continuación, $|f(z)| = 0$ $f(z) = 0$ en todas partes) o $f'(z) = 0$ en todas partes, y que implica la $f$ es constante.

Answer 3

Esto se desprende de la Máxima Módulo Teorema. Sin embargo, la prueba que viene a la mente de la Máxima Módulo utilizando el Teorema de Cauchy de la Integral de la Fórmula en realidad utiliza este hecho, por lo que podría ser circular.

Para demostrar este caso especial de la Máxima Módulo Teorema, Pete L. Clark ha mencionado ya que la Asignación Abierta Teorema se aplica.

Una alternativa es el uso de Cauchy-Riemann ecuaciones. Si $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, por hipótesis, existe una constante $r\geq 0$ tal que $u^2+v^2 = r^2$. De ello se desprende que $uu_x+vv_x=0$$uu_y+vv_y=0$. Usted también tiene $u_x=v_y$$u_y=-v_x$. Un poco de manipulación algebraica de los rendimientos de $u(u_x^2+v_x^2)=v(u_x^2+v_x^2)=0$. Suponiendo $r\neq 0$, $u$ y $v$ nunca simultáneamente $0$, por lo que se deduce que el $u_x^2+v_x^2\equiv 0$, lo que implica que $u_x=v_y=0$$v_x=-u_y=0$. Por lo tanto, $f$ es constante.

Otra forma de utilizar el Cauchy-Riemann ecuaciones es el primer mapa en el círculo de $|z|=r$ en el eje real, ya sea usando un Möbius tranformation, o el uso de logaritmos. E. g., considere la posibilidad de $g\circ f$ donde $g(z)=i\dfrac{1+\frac{z}{r}}{1-\frac{z}{r}}$. (Este tipo de mapas no está definido en el círculo entero, pero es suficiente para mostrar que el $f$ es localmente constante.)