Grupos finitos: $H \leq A \times B$. Es $H \cong C \times D$ para algunos $C \leq A$, $D \leq B$?

Question

$A$ $B$ son grupos finitos. $H \leq A \times B$. Podemos encontrar algunos $C \leq A$, $D \leq B$ tal que $H \cong C \times D$?

En caso de que la declaración no es verdad: es cierto que aún está en suposiciones acerca de a y B, tales como solvencia, nilpotency, etc?

Casos especiales puedo demostrar:

1. $A$ $B$ son abelian (siguiendo las ideas de otra discusión: $G$ finito abelian. $A \times B$ incrustado en $G$. Es $G=C \times D$ tal que $A$ incrustado en $C$, $B$ incrustado en $D$?)

2. $(|A|,|B|)=1$. En este caso tenemos a $H = C \times D$. Utilizando el teorema del resto Chino, por ejemplo.

Answer 1

No, un subgrupo de un producto directo no tiene que ser un producto directo de los subgrupos, incluso hasta el isomorfismo, incluso si los factores son casi abelian.

Los ejemplos son abundantes. Aquí es un pequeño y casi abelian ejemplo (nilpotent y solucionable y hamilton) y una pequeña fácil de escribir por ejemplo:

1. Tomar A=B a ser de cuaterniones de orden 8. A×B tiene 15 máxima subgrupos de orden 32, 9 de los cuales están directamente indecomposable, y así que no hay tal C o D existir. Por lo tanto nilpotent de clase en la mayoría de los 2 con todos los subgrupos normales (apenas no-abelian) no es suficiente.

2. Tomar A=B, a no ser abelian de orden 6. A×B tiene un máximo subgrupo H de orden de 18 años que está directamente indecomposable, así que de nuevo no hay tales C o D existir. H puede ser generado por (1,2,3), (4,5,6) y (1,2)(4,5). Sus elementos de orden 2 son de la forma (a,b), (c,d) donde a≠b en {1,2,3} y c≠d en {4,5,6}, y así que todos ellos son auto-centralización, y por lo que ninguno de ellos puede ser parte de un adecuado factor directo (que es centralizado por toda la otra no-identidad factor). Uno de los factores que ha de tener incluso el orden, por lo que uno tiene que ser todos los de H.

Answer 2

Usted puede estar interesado en el expositivo artículo "los Subgrupos de productos directos de los grupos, de los ideales y subrings de productos directos de los anillos, y Goursat el lema" por Anderson y Camilo. Un par de fragmentos:

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Answer 3

No es posible, si usted desea que el isomorfismo para ser compatible con la estructura del producto.

Es decir, elegir a $A=B$ $H = \lbrace (a,a) : a\in A\rbrace$ "diagonal subgrupo". Claramente, el subgrupo $H$ lo hace no tiene la forma $H = C\times D \subseteq A\times A$.