Teorema Fundamental del Álgebra de secundaria

Question

Mi maestro me ha dicho sobre el Teorema Fundamental del Álgebra, pero me parece que no puede encontrar cualquiera de las pruebas en lo que puedo entender. Para algo tan importante estoy con la esperanza de encontrar una prueba de que un estudiante de secundaria puede entender.

Las referencias son bienvenidos también, gracias!

Answer 1

No hay una única prueba de este teorema. Deje $p(z)=\sum_{i=0}^na_iz^i$ donde $a_i\in \mathbb{C}$. Tenemos que mostrar que $p$ tiene un cero en $\mathbb{C}$. Tomar un gran número real $R$ y considerar el círculo de $|z|=R$$\mathbb{C}$. Desde $R$ es grande, de conectar los $z$ a $p$, $p(z)$ es algo muy grande contorno, que es algo centrado en $0$. (Desde $R$ es grande, la contribución de $a_n z^n$ domina, por lo $p(z)\sim a_nz^n$). Del mismo modo, considerar el círculo de $|z|=r$ para algún número real $r$ cerrar a cero, entonces se $p(z)\sim a_0$, por lo tanto $p(z)$ es de algún pequeño contorno cerca de $a_0$.

Cuando dejamos $r$ variar desde muy pequeños a muy grandes, entonces obtenemos la creciente contornos en $\mathbb{C}$ cuyos centros varían de $a_0$$0$. En algún momento algunos de contorno debe pasar por el origen.

Uno puede hacer un argumento como este preciso, sin embargo es muy difícil hacerlo.

Answer 2

He aquí una prueba de que siempre me ha gustado.

Supongamos $\forall z : P(z)\neq 0$ Vamos $$f(z) := |P(z)|$$ A continuación, $f(z)$ es más grande que algunos de número de $m>0$ y alcanza su mínimo $m$ en algún punto de $z_0$ (que debe ser finito, debido a que $P(z)$$\infty$$z$$\infty$)

Deje $$Q(z):= P(z-z_0)$$ Tenemos $Q(0) = a$ s.t $|a| = m$ $|Q(z)|\geq m$

A continuación, $$Q(z) = a+ \sum_1^n a_k z^k \underset{z\to 0}{=} a + a_p z^p + o(z^p)$$ Donde $p$ es el primer número para que $a_p\neq 0$

Por lo $$|Q(z)| \underset{z\to 0}{=} |a+a_pz^p| + o(z^p)$$ Si elegimos $a_p z^p = aw^p$ ,yo.e $z = \left(\frac{a}{a_p}\right)^{1/p}w$,
llegamos $$Q(z) \underset{w\to 0}{=} |a||1+w^p| + o(w^p) = m|1+w^p| + o(w^p)$$ Así que si tomamos $w = (-t)^{1/p}$ s.t $t$ es un número real positivo. $$Q(z) \underset{t\to 0}{=} m|1-t| + o(t) = m(1-t) + o(t) $$ Que es estrictamente menor que $m$ para las pequeñas suficiente $t$.