Determinar si el límite existe: $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$

Question

Determinar si es o no el límite de $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$$ existe. Si lo hace, a continuación, calcular su valor.

Mi intento: $$\begin{align}\lim \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2} &= \lim \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} + \lim \frac {2xy}{x^2+y^2} =\\&= 1 + \lim \frac 2{xy^{-1}+yx^{-1}} = 1+ 2\cdot\lim \frac 1{xy^{-1}+yx^{-1}}\end{align}$$

Pero $\lim_{x\to 0^+} x^{-1} = +\infty$ $\lim_{x\to 0^-} x^{-1} = -\infty$ Asimismo, $\lim_{y\to 0^+} y^{-1} = +\infty$ $\lim_{y\to 0^-} y^{-1} = -\infty$

Para la mano izquierda y la mano derecha de los límites no pueden ser iguales, y por lo tanto el límite no existe.

Answer 1

Considere la posibilidad de $$f(x,y)=\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2} .$$ Si usted toma el camino de $(0,y)$, entonces: $$\displaystyle\lim_{y\to0} f(0,y) =\lim_{y\to0} \frac{y^2}{y^2}=1$$

Si usted toma el camino de $(x,x)$, entonces: $$ \lim_{x\to0}f(x,x) =\lim_{x\to0} \frac{(2x)^2}{2x^2}=2$$

Así, el límite no existe.

Answer 2

Aunque la pregunta se ha respondido acertadamente, que podría ser de utilidad para ver la aplicación de polar de transformación de coordenadas en el análisis de los límites del tipo aquí.

Para ello, podemos transformar el problema en coordenadas polares. Dejando $x=\rho \cos\phi$$y=\rho \sin \phi$, tenemos

$$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}=1+\sin 2\phi$$

Obviamente, el límite

$$\lim_{\rho \to 0} (1+\sin 2\phi)$$

es altamente dependiente de la migración de $\phi$$\rho \to 0$. Por lo tanto, el límite no existe.

Las respuestas anteriores tienen como rutas de acceso $1)$ $\phi =\pi/2$ para que el límite es de $1$ y $2)$ $\phi = \pi/4$ para que el límite es de $2$.

Answer 3

He aquí otra manera $$ \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2} $$ Usando coordenadas polares, tenemos $$ \lim\limits_{r\to 0^+} \frac{\left(r\cos\phi+r\sin\phi\right)^2}{r^2\cos^2\phi + r^2\sin^2\phi} $$ $$ = \lim\limits_{r\to 0^+} \frac{r^2\left(\cos\phi+\sin\phi\right)^2}{r^2\left(\cos^2\phi + \sin^2\phi\right)} $$ $$ = \lim\limits_{r\to 0^+} \frac{\left(\cos\phi+\sin\phi\right)^2}{\cos^2\phi + \sin^2\phi} $$ $$ = \lim\limits_{r\to 0^+} \left(\cos\phi+\sin\phi\right)^2 $$ $$ = \sin(2\phi)+1 $$ Este límite es claramente dependiente de $\phi$. Por lo tanto $$ \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}\ \mbox{does not exist} $$

Answer 4

Un truco que me gusta usar para este tipo de problemas es establecer $x=kt$, e $y=t$, donde me pueden variar $k$ a, posiblemente, ser capaz de producir una variedad de valores. Entonces si $f(x,y)$ es una función de dos variables, y estoy interesado en $$lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) , $$ I need to look at $$lim_{t\to 0}f(kt , t).$$ Let us set (this actually gives almost all the lines through the origin). In your particular problem, you get that $$f(x,y) = \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}.$$ Now plugging in $x=kt$, and $y=t$, we get, $$\frac{t^2(k+1)^2}{t^2(k^2+1)}=\\ \frac{(k+1)^2}{(k^2+1)}.$$ Therefore you may make the limit approach any number in the range of $$k\mapsto \frac{(k+1)^2}{(k^2+1)}.$$

Esto corresponde a tomar el límite se aproxima el valor de (0,0) a lo largo de (casi) cualquier rayo que contiene $(0,0)$. A menudo se puede ver rápidamente que un límite no existe muy rápidamente utilizando este truco. Pero tiene un problema: Si todos los rayos de hecho les da la misma respuesta, es posible que haya algunos que no trayectoria en línea recta que va a dar una respuesta diferente. Aquí Lo que es $\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^3+y^3)/(x^2-y^2)$? , Creo que es un ejemplo de una función que se comporta en las radios donde el límite no existe.

Answer 5

Tu respuesta final es correcto, pero la forma no es sólo ligeramente caso. El principal problema es que independiente de su límite en la suma de los límites. La primera, $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}$$ converge y es igual a $1$, como nota. El segundo aunque, $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac {2xy}{x^2+y^2}$$ diverge.

El primer problema (pero probablemente no el más importante) es que no difieren de las razones por las que el estado (si se mira de cerca, su argumento, en realidad, se concluye que el límite anterior es $0$). Una prueba de su divergencia sería considerar el límite a través de los puntos de $(x,x)$ vs través de $(0,y)$, como se sugiere en otra respuesta.

El más importante problema, sin embargo, es que este razonamiento podemos concluir que el límite original no existe! La igualdad (compacta) $$\lim f+g = \lim f + \lim g$$ sostiene sólo si ambos límites de $f$ e de $g$ existen. En ese caso, podemos concluir que el original límite existe y es igual a, bla, bla. Sin embargo no hay nada que decir en el caso de que cualquiera de límite no existe.

Usted puede modificar su método por el mantenimiento de las expansiones dentro del límite de operando: $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} + \frac{2xy}{x^2+y^2}$$

y la conclusión de la "dependencia de la trayectoria" argumento.

Sólo para aclarar lo que quiero decir, aquí un ejemplo donde el mismo argumento a la conclusión de que muy evidentemente convergente con límite, no existe! $$0 = \lim_{x\to +\infty} \sin x-\sin x \stackrel{?}{=}\lim_{x\to +\infty}\sin x - \lim_{x\to +\infty}\sin x$$