Búsqueda de $\sum\limits_{n=2}^\infty \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

Question

Así que tengo este problema de mitad de período para comentarios:

$$\sum_{n=2}^\infty \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\text{ ?}$$

Yo sé que usted puede encontrar la forma de serie de un registro natural, como se muestra aquí:

$$\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=-\sum_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{n^{4k}}\right)\left(\frac{1}{2k}\right) $$

Pero lo anterior no parece ayudar mucho, ya que los resultados en la suma de dos anotaciones mushed juntos. Hay un poco de nontedious manera de ir sobre esto? Gracias! Toda la ayuda es apreciada.

Answer 1

$$\begin{align*}\log(1-1/n^2)&=\log\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)\\&=\log(n^2-1)-\log(n^2)\\&=\log[(n+1)(n-1)]-2\log(n)\\&=\log(n+1)+\log(n-1)-2\log(n)\end{align*}$$... and our series telescopes. The only term that survives is $-\registro de 2$.$$\begin{align*}\sum_{n=2}^\infty\log(1-1/n^2)&=\sum_{n=2}^\infty\left(\log(n+1)+\log(n-1)-2\log (n)\right)\\&=\log3+\log1\color{red}{-2\log2}+\log4+\color{red}{\log2}-2\log3+\dots\\&=-\log 2\end{align*}$$

Answer 2

$$ \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \ln \left( \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{n^2} \right) \right) $$

$$ = \ln \left( \prod_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{n}\frac{n+1}{n} \right) $$

$$ \ln \left( \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} \times ... \right) $$

$$ = \ln \left( \frac{1}{2} \right) = -\ln 2 $$