Otro tipo de problema de Brachistochrone

Question

Sabemos que el problema de Brachistochrone que encontrar la forma de la curva por la que una cuenta que se desliza desde el reposo y es acelerada por la gravedad se deslizará (sin fricción) de un punto a otro en el menor tiempo.

Me pregunto si utilizamos una masa de segmento de línea en una curva con el mismo problema. Está claro que la masa del segmento de línea tocará dos puntos de la curva. ¿Qué ecuación de la curva debe ser para el menor tiempo en ese caso? No sé cómo empezar.

Nota: La masa del segmento lineal se libera desde el punto A y su lugar de llegada es el origen (O). la masa del segmento lineal es homogénea y su longitud es $l$ y la masa es $m$ . no hay fricción en el sistema.Punto $A(x_1,y_1)$ y Punto $B(x_2,y_2)$ se dan puntos de partida.

Gracias por las respuestas

Answer 1

El tiempo mínimo del segmento AB será también el tiempo mínimo de su centro de gravedad I (centro de AB).
Pero I es un punto en un campo gravitatorio uniforme sin fricción.
Así que la trayectoria de I será una braquistócrona cuya ecuación se conoce porque se sabe el punto de partida de I (el centro de AB). Entonces se calcula la curva que seguirá a A y B sabiendo que
Xi = (Xa + Xb)/2 e Yi = (Ya + Yb)/2 y que siga una braquistócrona conocida (por ejemplo, Xi e Yi verifican una ecuación diferencial conocida).

Como se trata de 2 ecuaciones para 4 incógnitas (Xa,Xb,Ya,Yb), necesitarás 1 ecuación más para obtener una relación funcional entre f.ex Ya y Xa.
Es la rigidez : (norma de AB)² = l².

Así es como se empieza y el resto es cálculo.