Equivalencia de dos funciones de distancia en una variedad riemanniana

Question

Dejemos que $(M,g)$ sea una zona cerrada y conectada $m$ dimensional suave de Riemann y suponer que está incrustada isométricamente en un espacio euclidiano $\mathbb{R}^q$ por $\iota:M\to\mathbb{R}^q$ .

$|\ast|$ denota la norma euclidiana en $\mathbb{R}^q$ y $d(x,y)$ denota la distancia geodésica entre $x,y\in M$ .

Entonces, creo que sostiene que \begin{eqnarray} \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ s.t.\ \forall x,y\in M\ \ \ 0<|y-x|<\delta\Rightarrow\ \dfrac{d(x,y)}{|y-x|}<1+\varepsilon. \end{eqnarray}

Pero no soy capaz de verificar la afirmación anterior. ¿Puede alguien ayudarme?

También se alegra si me muestra la siguiente declaración más débil: \begin{eqnarray} \exists C>0\ \forall x,y\in M\ \ \ d(x,y)\leq C|y-x|. \end{eqnarray}

Gracias.

Answer 1

[ Editar: Los errores en la prueba original (olvidaron un factor de $||\partial_t \Gamma(1,t)||$ en una de mis estimaciones) han sido, creo, arregladas].

Lamento que esto sea tan largo; no pude encontrar una prueba hábil así que me senté a hacer un análisis horroroso. I creer lo siguiente da una prueba de su afirmación, pero es análisis horrendos, así que la probabilidad de que haya cometido un error que rompa la prueba no es trivial.

Teorema. Dejemos que $M \hookrightarrow \mathbb{R}^n$ sea una incrustación isométrica. Dado $\epsilon > 0$ y $p \in M$ existe $D > 0$ tal que para $x, y \in M$ tal que $|x - p|, |y - p| < D$ tenemos $$ d_M(x, y) \leq (1+\epsilon)d_{\mathbb{R}^n}(x,y). $$

Creo que los siguientes son simples corolarios:

Corolario. Por el teorema de Nash, lo mismo ocurre al sustituir $\mathbb{R}^n$ por una variedad riemanniana arbitraria $N$ .

Corolario. Si $M$ es cerrado, entonces dado $\epsilon > 0$ existe $D$ en $M$ tal que para $x,y \in M$ con $|x - y| < D$ la misma desigualdad se mantiene. (Esto se deduce de un argumento de compacidad, por ejemplo, el argumento en rana ).

Creo que esto último responde a su pregunta. Pasemos a la discusión del teorema en sí.

Esquema de la prueba. La prueba (que se me ocurrió, al menos) es larga y requiere un análisis complicado, así que intentaré decir unas palabras sobre la intuición. Para $x, y \in M$ podemos trazar la línea recta entre $x$ y $y$ la longitud de esta línea es la distancia entre $x$ y $y$ en $M$ . Si $x$ y $y$ están lo suficientemente cerca, la línea entre ellas estará contenida en una bonita vecindad normal tubular de $M$ y así podemos deformarlo en $M$ para obtener un $M$ -senda entre $x$ y $y$ . Esta trayectoria no es una geodésica, pero basta con estimar su longitud. Lo hacemos calculando la primera variación de la energía de las trayectorias en la deformación. Resulta que la primera variación de la energía de estas trayectorias puede estimarse en términos del operador de forma de $M$ la longitud de la trayectoria deformada en $M$ y un término que describe hasta qué punto hemos tenido que deformar nuestro camino para conseguirlo en $M$ . El operador de forma satisfará algún límite uniforme en subconjuntos pequeños (precompactos) de $M$ El objetivo es demostrar que la deformación en sí misma puede ser bastante pequeña. Para ello utilizamos el hecho de que el espacio tangente de $M$ se aproxima a $M$ de primer orden, lo que demuestra, a grandes rasgos, que para los puntos a una distancia $\eta$ la distancia a $M$ debe ser $O(\eta^2)$ . Combinando estas estimaciones se obtiene una prueba.

Prueba. La pregunta es local, por lo que podemos suponer que $M$ es la imagen de $f : U \hookrightarrow \mathbb{R}^n$ , donde $U \subseteq \mathbb{R}^m$ es una vecindad abierta precompacta de $0$ con la propiedad de que existe alguna extensión suave de $f$ a un conjunto abierto mayor $V \supset \overline{U}$ (esta última parte nos permite obtener estimaciones sobre las normas sup de $f$ y sus derivados).

Dejamos que $L$ sea una cota superior para las segundas derivadas parciales de $f$ y que $C$ sea una constante de modo que para $x, y \in U$ tenemos $|y - x| \leq C |f(y) - f(x)|$ . (La existencia de tal $C$ se deduce del hecho de que $f$ es una incrustación suave, por lo que hay algún difeomorfismo definido localmente $g$ para que $g \circ f$ es la incrustación estándar $U \subseteq \mathbb{R}^m \subseteq \mathbb{R}^n$ Entonces $C$ es una constante de Lipschitz para $g^{-1}$ .)

Sublemma. Dejemos que $x, y \in U$ satisfacer $|f(x) - f(y)| = \eta$ . Entonces, para cualquier punto $z$ en el segmento de línea que conecta $f(x)$ y $f(y)$ la distancia desde $z$ a $f(U)$ satisface $d_{\mathbb{R}^n}(z, f(U)) \leq 2nLC^2\eta^2$ .

Prueba del sublema. Por el teorema de Taylor, se puede escribir $$ f(y) = f(x) + Df_x(y - x) + R(y-x), $$ donde el resto satisface $$ |R(y-x)| \leq nL|y-x|^2 \leq nLC^2 |f(y) - f(x)|^2 = nLC^2 \eta^2. $$ Por lo tanto, la distancia de $f(y)$ al grano $f(x) + Df_x(y-x)$ que vive en el espacio tangente a $x$ está limitada por $nLC^2 \eta^2$ . De ello se desprende que para $0 \leq \lambda \leq 1$ la distancia entre $f(x) + \lambda(f(y) - f(x))$ y el punto $f(x) + Df_x(\lambda(y-x))$ está limitada por $\lambda nLC^2 \eta^2$ . (Esto es sólo mirando el triángulo relevante).

Por la misma estimación de Taylor, aplicada ahora a $x + \lambda(y - x)$ en lugar de $y$ se deduce que el punto $f(x) + Df_x(\lambda(y-x))$ que vive en el espacio tangente de $x$ está a una distancia de $\lambda^2 nLC^2\eta^2$ del punto $f(x + \lambda(y-x)) \subseteq f(U)$ . Sumando estas dos estimaciones (e ignorando los factores irrelevantes de $\lambda$ ) da la afirmación del sublema.

Prueba del teorema (ct'd). Hay algo abierto $W \subseteq \mathbb{R}^n$ que contiene $f(U)$ de modo que para $w \in W$ hay un único punto más cercano a $w$ en $f(U)$ ( $W$ es una pequeña vecindad normal tubular de $f(U)$ ). Dejamos que $U' \subseteq U$ sea lo suficientemente pequeño como para que las líneas rectas en $\mathbb{R}^n$ entre puntos de $f(U')$ permanecer en $W$ .

Ahora considere $x, y \in U$ . Elija un campo de variación $\Gamma(s,t)$ , para $0 \leq s,t \leq 1$ para que $t \mapsto \Gamma(0,t)$ es el segmento de línea de velocidad constante en $\mathbb{R}^n$ con $\Gamma(0,0) = f(x)$ y $\Gamma(0,1) = f(y)$ y de modo que para cada $t$ la curva $s \mapsto \Gamma(s,t)$ es la trayectoria rectilínea de velocidad constante desde $\Gamma(0,t)$ al punto en $f(U)$ más cercano a $\Gamma(0,t)$ . Tenga en cuenta que $$ \Gamma(s,t) = s\Gamma(1,t) + (1-s) \Gamma(0,t).\tag{$ * $} $$ A veces escribimos $\gamma_s(t)$ en lugar de $\Gamma(s,t)$ .

Ahora, $\gamma_1(t)$ es una curva en $f(U)$ conectando $f(x)$ y $f(y)$ y estimaremos su longitud. Recordemos que el energía de una curva $\gamma$ es $E(\gamma) = \int ||\gamma'||^2$ . Consideramos la primera variación de la energía de $\Gamma$ : \begin{align} \frac{\partial}{\partial s} E(\gamma_s(t)) &= \frac{\partial}{\partial s} \int_0^1 \langle \partial_t \Gamma(s,t), \partial_t \Gamma(s,t) \rangle dt \\ &= 2 \int_0^1 \langle D_s \partial_t \Gamma(s,t), \partial_t \Gamma(s,t) \rangle dt \\ &= 2 \int_0^1 \langle D_t \partial_s \Gamma(s,t), \partial_t \Gamma(s,t) \rangle dt \\ &= -2 \int_0^1 \langle \partial_s \Gamma(s,t), D_t \partial_t \Gamma(s,t) \rangle dt. \end{align} Queremos estimar este último término. En $(*)$ tenemos $$ D_t \partial_t \Gamma(s,t) = s D_t \partial_t \Gamma(1,t). $$ Dejemos que $B$ sea la segunda forma fundamental de la incrustación $f(U) \subseteq \mathbb{R}^n$ y que $B_0$ sea un límite de su norma dentro de $U$ . Entonces podemos estimar nuestro producto interior utilizando el hecho de que $\partial_s \Gamma(s,t)$ es ortogonal a $f(U)$ : \begin{align} \left| \langle \partial_s \Gamma(s,t), D_t \partial_t \Gamma(s,t) \rangle \right| &= s \left| \langle \partial_s \Gamma(s,t), D_t \partial_t \Gamma(1,t) \rangle \right| \\ &= s \left| \Big\langle \partial_s \Gamma(s,t), B\big(\partial_t \Gamma(1,t), \partial_t \Gamma(1,t)\big) \Big\rangle \right| \\ &\leq s B_0 ||\partial_s \Gamma(s,t)|| \cdot ||\partial_t \Gamma(1,t)||^2 \end{align}

Mediante la construcción de $\Gamma$ y el sublema, tenemos $$ ||\partial_s \Gamma(s,t)|| = d_{\mathbb{R}^n}(\Gamma(0,t), \Gamma(1,t)) \leq 2nLC^2 |f(y)-f(x)|^2. $$ Así tenemos la estimación \begin{align} \left| \frac{\partial}{\partial s} E(\gamma_s(t)) \right| &\leq 4nLC^2 \; |f(y) - f(x)|^2 \int_0^1 ||\partial_t \Gamma(1,t)||^2 dt \\ &= 4nLC^2 E(\gamma_0) E(\gamma_1). \end{align} Integrando, se deduce que $$ E(\gamma_1) - E(\gamma_0) \leq 4nLC^2 E(\gamma_0) E(\gamma_1), $$ que se convierte en $$ E(\gamma_1) \leq \frac{E(\gamma_0)}{1 - 4nLC^2 E(\gamma_0)} $$ (siempre y cuando $E(\gamma_0)$ es lo suficientemente pequeño como para que el término de la derecha sea positivo).

Desde $E(\gamma_0)$ es el cuadrado del $\mathbb{R}^n$ -distancia de $x$ a $y$ eligiendo $U$ lo suficientemente pequeño (dependiendo sólo de $\epsilon$ ) podemos asegurar que $$ \frac{1}{\sqrt{1 - 4nLC^2 E(\gamma_0)}} \leq 1 + \epsilon. $$

Dejemos que $\ell_1$ sea la longitud de $\gamma_1$ y $\ell_0$ la longitud de $\gamma_0$ . Desde $\gamma_0$ es una geodésica, tenemos $\ell_0^2 = E(\gamma_0)$ También tenemos la estimación $\ell_1^2 \leq E(\gamma_1)$ que se deduce de la desigualdad CBS. Entonces lo anterior se convierte en $$ \ell_1 \leq \sqrt{E(\gamma_1)} \leq \frac{\ell_0}{\sqrt{1-4nLC^2E(\gamma_0)} } \leq (1 + \epsilon)\ell_0. $$ Desde $d_{f(U)} (f(x),f(y)) \leq \ell_1$ y $d_{\mathbb{R}^n}(f(x),f(y)) = \ell_0$ Esto demuestra el teorema.

Answer 2

EDIT: Gracias a mollyerin por señalar mi afirmación errónea. Lo dejaré no obstante para que se vea a qué se refiere mollyerin. Pido disculpas:

Afirmación errónea: La afirmación es errónea en general: Piensa en una 2-esfera centrada en el origen en $\mathbb R^3$ y empujar el polo norte y el polo sur ( $N$ y $S$ ) de forma suave hacia el origen. De esta manera podrá hacer $|N-S|$ arbitrariamente pequeño pero $d(N,S)$ estará acotado lejos de cero tanto como quieras (estirando tu esfera). Sin embargo, su afirmación se convierte en realidad si pide $d(x,y)<\delta$ en lugar de $|x-y|<\delta$ . Puedo darle una prueba de esta afirmación si lo desea.

Con esto se puede demostrar la segunda afirmación: La función $$ (x,y)\mapsto\frac{|x-y|}{d(x,y)} $$ toma un mínimo en $(M\times M)\setminus \{(x,y)\in M\times M, d(x,y)\geqslant \delta\}$ para cualquier $\delta>0$ simplemente por la continuidad. Para $d(x,y)<\delta$ la acotación se desprende de la afirmación (modificada) anterior.

EDIT 2: @mollyerin: Lo que se me ocurrió fue esto: Traducir la incrustación para que $x=0$ y considerar para cualquier vector tangente unitario $v$ en $T_xM$ la curva $\gamma_v(t):=\exp_p(tv)$ . Entonces, para cualquier $y$ lo suficientemente cerca de $x$ uno tiene $y=\exp_p(tv)$ para algunos $v$ y $t$ . Además, uno tiene $d_M(x,\gamma_v(t))=t$ y utilizando la expansión de taylor de $|\gamma_v(t)-0|$ se encuentra

EDIT: Este teorema tiene un error, pero se puede corregir (segunda línea)

No es así: $$ |\gamma_v(t)|=t-t^3\frac{|\ddot{\gamma}(0)|^2}{3!}+O(t^4) $$ Sí: $$ |\gamma_v(t)|=t-t^3\frac{|\ddot{\gamma}(0)|^2}{4!}+O(t^4)$$ por lo que el cociente deseado satisface $$ 1+O(t^2)<1+\varepsilon $$ proporcionado $t$ es lo suficientemente pequeño. ¿Hay algo obvio que me esté perdiendo? Gracias por cualquier comentario.