Un poco de la integración de la paradoja

Question

La siguiente integral puede ser obtenido utilizando la línea de Wolfram integrador

$$ \int \frac{dx}{1+\cos^2 x} = \frac{\tan^{-1}(\frac{\tan x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}}$$

Supongamos ahora que estamos llevando a cabo esta integración entre el$0$$2\pi$. Por lo tanto el resultado de la integración es cero.

Por otro lado cuando se mira en el integrando, $\displaystyle \frac{1}{1+\cos^2 x}$, vemos que es una función periódica que nunca es negativo. El hecho de que nunca es negativo garantiza que el resultado de la integración nunca será cero (es decir, intuitivamente no es positivo el área bajo la curva).

¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

(Esta es una expansión de mi anterior comentario.)

Considere la función

$$f_c(x)=\frac{x}{\sqrt 2}-\frac1{\sqrt 2}\arctan\left(\frac{\sin\,2x}{3+2\sqrt{2}+\cos\,2x}\right)$$

Se puede comprobar que la derivada de $f_c(x)$$\dfrac1{1+\cos^2 x}$. La relevancia de esta función es que $f_c(x)$, a diferencia de la función de $f(x)=\dfrac1{\sqrt 2}\arctan\left(\dfrac{\tan\,x}{\sqrt 2}\right)$ dado en el OP, no tiene discontinuidades en el intervalo de integración $[0,2\pi]$:

Por lo tanto,

$$\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dx}{1+\cos^2 x}=\left.\frac{x}{\sqrt 2}-\frac1{\sqrt 2}\arctan\left(\frac{\sin\,2x}{3+2\sqrt{2}+\cos\,2x}\right)\right|_0^{2\pi}=\pi\sqrt 2$$

Uno se pregunta cómo las dos funciones se $f(x)$ $f_c(x)$ podría parecer tan diferentes y, sin embargo, tienen la misma derivada. Una parcela de $f_c(x)-f(x)$ muestra la diferencia:

Aquí, podemos ver que las dos funciones se diferencian no por una constante, pero por un seccionalmente constante de la función (es decir, una función de paso). De hecho, el Teorema Fundamental del Cálculo puede estar indicado un poco más general de lo que es habitual en los libros de texto. Para citar Oleksandr Pavlyk la entrada en el blog sobre este tema,

Cada cálculo estudiante sabe que antiderivatives puede contener una constante aditiva arbitraria. Pero en realidad, hay más a la arbitrariedad de que: uno puede agregar diferentes constantes en diferentes partes del intervalo.

Como ya se ha mencionado en las respuestas anteriores, el problema radica en el uso de la sustitución de Weierstrass; el origen del problema, en pocas palabras, es que la sustitución se utiliza la función pasa a ser discontinua en el intervalo de integración. Por lo tanto, para evaluar correctamente definido las integrales de funciones racionales de seno y coseno, uno tiene que ser cuidadoso en el uso de la sustitución de Weierstrass, y debe prestar atención a la conducta cerca de las singularidades.

Jeffrey y Ricos, en su papel, a discutir los métodos de álgebra computacional sistemas para hacer frente a este particular, la debilidad de la sustitución de Weierstrass.

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En aras de la exhaustividad, he aquí una fórmula general para una antiderivada de $\dfrac1{p+q\cos^2 x}$ que es continuo a través de la línea real:

$$\int\frac{\mathrm dx}{p+q\cos^2 x}=\frac1{\sqrt{p(p+q)}}\left(x-\arctan\left(\frac{q\sin\,2x}{2p+q+2\sqrt{p(p+q)}+q\cos\,2x}\right)\right)$$

Answer 2

Muy sencillo: el $\arctan$ función de varios valores, por lo que usted tiene que agregar la correspondiente múltiplos de $\pi$ a la función para obtener el resultado correcto, es decir, $\sqrt{2}\pi$

Answer 3

Una inusual de sustitución, el "$\tan(z/2)$"de sustitución, es que se realiza aquí. Usted debe tomar una mirada cuidadosa a lo que se están integrando. Aquí es una referencia en esta sustitución.

Answer 4

La antiderivada de que usted está utilizando no es continuo desde la $0$$2\pi$. Pregunte a Wolfram para generar el gráfico. A continuación, trate de ver si se puede ajustar por las constantes en varios intervalos, para hacerla continua, y verás que la integral está bastante lejos de la $0$.

Answer 5

Aquí el problema no es con el integrando; en cambio, es con la antiderivada de el integrando en el intervalo de integración $(0,2\pi)$, donde la antiderivada de el integrando es discontinua en a$\pi/2$$3\pi/2$. Esto sugiere que debemos dividir el intervalo de integración para los tres intervalos; es decir,, $(0,\pi/2)$, $(\pi/2,3\pi/2)$, y $(3\pi/2,2\pi)$. Hacerlo, podemos llegar a la respuesta correcta $\sqrt 2 \pi$.