Una pregunta sobre las extensiones de campos normales y los grupos de Galois

Question

Lo siguiente es posiblemente cierto, pero no puedo encontrar el teorema correspondiente:

Si $E/F$ es el campo de división de algún polinomio en $F$ y $F \subset K \subset E$ entonces:

$Gal(E/K)$ subgrupo normal de $Gal(E/F)$ $\Leftrightarrow$ $K/F$ es una extensión de campo normal

¿Es esto cierto? Creo que decir eso $E/F$ es el campo de división de algún polinomio en $F$ es lo mismo que decir $E/F$ es Galois y, por tanto, se aplica el teorema de correspondencia de Galois. Pero no estoy seguro de ver cómo el significado de la normalidad de un subgrupo se relaciona con el significado de la normalidad de una extensión de campo. Pero, ¿quizás lo anterior es totalmente erróneo?

En cualquier caso, muchas gracias por su ayuda para aclarar esto.

Answer 1

Te confundes con la correspondencia de Galois - subgrupos normales $H$ del grupo de Galois $\text{Gal}(E/F)$ corresponden a extensiones normales $E^H/F$ , donde $E^H$ denota el subcampo de $E$ arreglado por $H$ . Tenga en cuenta que $E$ siendo el campo de división de un polinomio en $F$ no garantiza que $E/F$ es Galois. Esto se debe al hecho de que $E/F$ es Galois sólo cuando es normal (es decir, es un compositum de algunos campos de división) y separable .

Sin embargo, imagino que la declaración que pretendía era:

Si $E/F$ es normal, entonces $$H\triangleleft \text{Aut}(E/F) \iff E^H/F \text{ is a normal field extension.}$$

Esto sigue siendo cierto. Puede considerarse como un rescate del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois en el caso de que $E/F$ no es necesariamente separable. Este es mi razonamiento: Dejemos que $E/F$ sea normal y que $G=\text{Aut}(E/F)$ . Entonces $E^G/F$ es puramente inseparable, y $E/E^G$ es separable. Tenemos que $\text{Aut}(E/E^G)=\text{Aut}(E/F)$ . Porque $E/F$ es normal, tenemos que $E/E^G$ es normal y por lo tanto $E/E^G$ es Galois, y por tanto un subgrupo normal $H\triangleleft\text{Aut}(E/E^G)=\text{Aut}(E/F)$ corresponde a una extensión normal $E^H/E^G$ . Se sabe que si $C\subseteq B\subseteq A$ es una torre de extensiones de campo y $A/C$ es normal y $B/C$ es puramente inseparable, entonces $A/B$ es normal. Así, $E^H/F$ es normal.

A la inversa, dada una subextensión normal $L/F$ de $E/F$ que es el campo fijo $L=E^H$ de algún subgrupo $H\subseteq\text{Aut}(E/F)=\text{Aut}(E/E^G)$ entonces $L$ de hecho contiene $E^G$ y $L/F$ normal implica $L/E^G$ normal, por lo que el subgrupo de $G$ que arregla $L$ , a saber $H$ es normal en $G$ .

Tome nota de esta pregunta: es no ¡una obviedad!

Sin embargo, la construcción de un contraejemplo se me escapa. Aquí hay un intento:

Dejemos que $\mathbb{F}_p$ sea un campo finito donde $3\nmid p-1$ (para que no haya raíces cúbicas de la unidad), que $F=\mathbb{F}_p(T)$ , dejemos que $f=x^{3p}-T\in F[x]$ , dejemos que $E$ sea el campo de división de $f$ en $F$ . Entonces $E=F(\sqrt[3p]{T},\sqrt[3]{1})$ . Esto tiene como subcampo $M=F(\sqrt[3]{T})$ que es separable, pero no normal, sobre $F$ . EDIT: No importa, esto no funciona. $M$ no es el campo fijo de un subgrupo normal de $\text{Aut}(E/F)$ .

Answer 2

No es cierto en general que decir que $E$ es un campo de división sobre $F$ implica que la extensión es Galois: el ingrediente que falta es separabilidad . La implicación es válida para la característica cero y, en mayor medida, para los campos perfectos, pero no siempre. Por ejemplo, tomemos $F=\mathbb{F}_p(x)$ el campo de las funciones racionales sobre el campo de $p$ elementos, y que $E$ sea el campo de división sobre $F$ de $t^p - x$ . Si $\alpha$ es una raíz de $t^p-x$ en $E$ entonces $t^p - x = t^p - \alpha^p = (t-\alpha)^p$ en $E$ ya que $E$ tiene la característica $p$ . Así que $E=F[\alpha]$ es un campo de división de $f(t)=t^p-x$ en $F$ . Pero también concluimos que $\mathrm{Aut}(E/F)$ consiste únicamente en la identidad (ya que $\sigma\in\mathrm{Aut}(E/F)$ está completamente determinado por su valor en $\alpha$ pero $\alpha$ debe asignarse a sí mismo, ya que debe asignarse a una raíz de $t^p - x$ y $\alpha$ es la única posibilidad). Sin embargo, como $f(t)$ es irreducible sobre $F$ de grado $p$ entonces $[E:F]=p$ . Por lo tanto, $|\mathrm{Aut}(E/F)|\lt[E:F]$ y la extensión no puede sea una extensión de Galois. La razón por la que no es una extensión de Galois es que la extensión no es separable ya que está dado por un polinomio irreducible con múltiples raíces.