¿Por qué es/no es la derivada de una función derivable continua?

Question

Estoy confundido sobre el siguiente Teorema:

Vamos $f: I \to \mathbb{R}^n$, $a \in I$. A continuación, la función de $f$ es diferenciable en a $a$ si y sólo si existe una función de $\varphi: I \to \mathbb{R}^n$ que es continua en a $a$, y de tal manera que $f(x) - f(a) = (x - a)\varphi(x)$, para todos los $x \in I$; además, $\varphi(a) = f'(a)$.

Entiendo que la prueba de este teorema, pero algo que me confunde. No esta el teorema de estado que la derivada de una función en un punto es siempre continua en ese punto, puesto que $f'(a) = \varphi(a)$ es continua en a $a$? Esto significaría que la derivada de una función es continua en el dominio de la función, pero me he encontrado con contraejemplos. Probablemente he malinterpretado algo, cualquier ayuda sería bienvenida.

Answer 1

El teorema es simplemente indica que la función \begin{align*} \varphi(x) &= \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & \text{if}\;x\not = a; \\ f'(a) & \text{if}\;x = a \end{casos} \end{align*} es continua. Y está claro que es; el único punto a verificar es $x = a$, y la condición de $\lim_{x\to a} \varphi(x) = \varphi(a)$ es exactamente la definición de $f'(a)$. El teorema no es la que reclama $f = \varphi$ todas partes en $I$.

Uno de los ejemplos clásicos de una función derivable $f$ $f'$ no continuo es $f(x) = x^2\sin (1/x)$ ( $f(x) = 0$ ). La derivada \begin{align*} f'(x) &= \begin{cases} 2x \sin (1/x) - \cos (1/x) & \text{if}\; x \not = 0; \\ 0 & \text{if}\; x = 0 \end{casos} \end{align*} existe en todas partes, pero no es continua en a $0$.

Answer 2

El punto es que $\varphi$ no $f'$. Que sólo coinciden en un punto, y es fácil ver que dos funciones coinciden en un punto implica nada acerca de la relación de la diferenciabilidad/continuidad etc entre uno y otro.

Answer 3

El teorema establece que $\varphi(a)=f'(a)$ para este valor de $a$. No dice que $\varphi(x)=f'(x)$ todos los $x$ o, de hecho, para cualquier valor de $x$ además el único valor de $x=a$. Así que el hecho de que $\varphi$ es continua en a $a$ no le dice que $f'$ es continua en a $a$, ya que la continuidad depende de los valores de la función en los puntos cerca de $a$, no solo en $a$ sí.