Demostrando que una definición de e es único

Question

Podemos definir a la $e$ como el número tal que $\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=1$. Sin embargo, por supuesto, sólo podemos definir $e$ de esta forma si es única, es decir, no hay ningún otro valor $c$ por que se que es una declaración verdadera. Puede alguien probar esta singularidad para mí? Soy tutor de un cálculo estudiante y él me pidió algo para este efecto y no podía ver por qué. Gracias!

Answer 1

Si $x = e^c$$c \neq 1$, $\lim_{h \to 0}\dfrac{x^h - 1}{h} = \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{ch} - 1}{ch}c = c \neq 1$

Answer 2

Supongamos que para algún número en particular $c > 0$, $c \ne 1$, usted sabe que el límite de

$\lim_{h \to 0} \frac{c^h - 1}{h} = l_c$

existe y es finito y distinto de cero. El hecho de que un número $c$ con esta propiedad existe es de ninguna manera evidente, y una prueba es, creo, más allá del alcance de un principio de cálculo de estudiantes en el 99,9% de los casos. (Si de verdad quieres una prueba, es posible dar uno que es muy elemental, pero de largo, otro que usa la continuidad y propiedades de las funciones convexas, y otro, mucho más corto que comienza con la teoría mediante la definición de $\ln x$ como la integral de la $1/x$.) Pedagógicamente, puede ser preferible, simplemente, asumir la existencia de $l_c$, dicen, por $c = 2$.

Sin embargo, si aceptamos este hecho, la existencia y unicidad de $e$ puede ser establecida por el siguiente argumento.

Deje $d = c^r$ para algún número real distinto de cero $r$. (Cualquier número positivo $d \ne 1$ puede ser escrita en esta forma.) A continuación, el límite

$l_d = \lim_{h \to 0} \frac{d^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} r\frac{c^{rh} - 1}{rh}$

existe y puede ser evaluado por hacer la sustitución de $k = rh$. Desde $k \to 0$$h \to 0$, tenemos

$l_d = \lim_{k \to 0} r\frac{c^{k} - 1}{k} = rl_c$.

Tenemos $l_d = 1$ si y sólo si $r = 1/l_c$. Por lo tanto el único número con la propiedad deseada es $e = c^{1/l_c}$.

Tenga en cuenta que el valor real de $l_c$ luego resulta ser $\ln c$.

Answer 3

He presentado la teoría de la exponenciales y logarítmicas en mi blog. Para la pregunta actual nos neeed entender que para cada una de las $a>0$, el límite $$\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}$$ exists and hence defines some function $f(a)$. Next we need to show that this function is strictly increasing and its range is whole of $\mathbb{R}$. This would imply that there is a unique number $e$ such that the above limit $f(e)=1$. La prueba de estas afirmaciones es un poco largo y que está muy bien explicado en el post del blog enlazado más arriba.