Si $\|\left(f'(x)\right)^{-1}\|\le 1 \Longrightarrow$ $f$ es un diffeomorphism

Question

Que $f:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n,f\in C^1(\mathbb{R}^n)$ tal que $\forall x \in \mathbb{R}^n\;,\;f'(x)$ es un isomorfismo y:

$$ \|\left(f'(x)\right)^{-1}\|\le 1\;,\forall x \in \mathbb{R}^n$$

¿Cómo podemos demostrar que $f$ es un diffeomorphism?

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Sugerencia del autor:

$\forall [f(a),\color{red}b]\subset \mathbb{R}^n,\exists \lambda:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $\lambda(0)=a$ y $f(\lambda(t))=(1-t)f(a)+t\color{red}b$

por lo tanto $f$ es sobreyectiva.

Tenga en cuenta que $f$ es un diffeomorphism local, la parte fuerte es mostrar que $f$ es inyectiva.

¿Hay una prueba sin utilizar homotopía?

Se agradecería cualquier insinuación.

Answer 1

Es evidente que la norma del operador $ \|f'(x)\| \geq 1 $ Por lo tanto $ f'(x)$ es invertible para todo $ x \in \mathbb{R}^n $ por el teorema de existencia de las EDOs existe $ \lambda : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n $ Satisfaciendo a $$ \lambda'(t) = (f'(\lambda(t))^{-1}(b-f(a)),\ \ \ \lambda(0) = a $$ Por lo tanto, tenemos la relación $$ \begin{align}f(\lambda(t)) = f(\lambda(0)) + \int^t_0 (f\circ\lambda)'(s)ds\\ = f(a) + \int^t_0 f'(\lambda(s))(\lambda'(s))ds\\ =f(a) + \int^t_0 (b-f(a))ds= (1-t)f(a) +tb \end{align}$$

Answer 2

Asumo aquí lo que @smiley06 ha probado en su respuesta. Con ello, demostraré que para toda curva continua $\beta:[0,1]\to\mathbb{R}^n$ existe un único $\lambda$ continua tal que $f(\lambda(t))=\beta(t)$ . En efecto, dejemos que $\beta:[0,1]\to\mathbb{R}^n$ sea una curva continua. Para cada $t$ considere el segmento de línea $$\ell(t,r)=(1-r)\beta(0)+r\beta(t),\ r\in [0,1]$$

Para cada $t$ existe (esta es la prueba de @smiley06) $\lambda (t,r)$ tal que $f(\lambda(t,r))=l(t,r)$ . Ahora defina $\lambda (t)=\lambda (t,1)$ lo que implica que $$f(\lambda (t))=l(t,1)=\beta(t)$$

Supongamos ahora que $f(x)=f(y)$ y que $\alpha (t)=(1-t)x+ty$ . Considere $F:[0,1]\times [0,1]\to\mathbb{R}^n$ definido por $$F(\eta,t)=(1-\eta)f(\alpha(t))+\eta f(y)$$

Para cada fijo $\eta$ dejar $G(\eta,t)$ sea una curva (que existe como hemos demostrado anteriormente) tal que $f(G(\eta,t))=F(\eta,t)$ y $G(\eta,0)=x$ . Tenga en cuenta que $$f(G(\eta,1))=f(y),\ \forall\ \eta\in [0,1]\tag{1}$$

Porque $f$ es un difeomorfismo local concluimos de $(1)$ que $G(\eta,1)=y$ para todos $\eta\in [0,1]$ lo que implica que $y=x$ .