$\int_0^\pi \cos^2 x$ - ¿En qué me he equivocado?

Question

Por lo tanto, al examinar la cuestión:

$$\int_{0}^{\pi} \cos^2 x \ \text{d}x$$

Yo sólo restaría $\cos^2(0)$ de $\cos^2(\pi)$ pero al hacerlo obtendría 1 - 1 = 0. Cuando la respuesta es $\pi/2$ . ¿En qué me he equivocado? ¿Qué me falta? ¡Muchas gracias por toda vuestra ayuda! :-)

Answer 1

Tenemos que

$$I = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \ dx= 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x \ dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\pi/2 - x) \ dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \ dx$$

y por lo tanto

$$I = \int_{0}^{\pi/2} (\cos^2 x +\sin^2 x)\ dx = \pi/2$$

Answer 2

Hay que integrar el integrando $\cos^2(x)$ primero. La identidad $\displaystyle\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$ es de utilidad en este caso.

Answer 3

Desde el identidad de la adición :

$$\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b,$$

obtenemos (fijando $a=b$ )

$$\cos (2a)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a.$$

La aplicación de la Identidad trigonométrica pitagórica $\cos^2a+\sin^2a=1$ en la forma $$\sin^2a=1-\cos^2a,$$

rinde

$$\cos (2a)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a=\cos ^{2}a-1+\cos^2a=2\cos ^{2}a-1,$$

o, de forma equivalente

$$\cos ^{2}a=\dfrac{1+\cos (2a)}{2}.$$

Configurar $x=a$ resultados en

$$\cos ^{2}(x)=\dfrac{1+\cos (2x)}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos (2x)}{2}.$$

Entonces

$$\int_{0}^{\pi} \cos^2 x \ \text{d}x=\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos (2x)}{2} \ \text{d}x=\dfrac{1}{2}\pi+\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos (2x)\ \text{d}x=\dfrac{1}{2}\pi+\dfrac{1}{4}\int_{0}^{2\pi }\cos t\;\mathrm{d}t.$$

Les dejo la evaluación de $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos t\ \text{d}t$ . Recuerda que tienes que encontrar la antiderivada de $\cos t$ o simplemente observar que el período de $\cos t$ es igual a $2\pi$ .