El número $de$ 30 tiene una curiosa propiedad:
Todos los números de co-prime, que son de entre $1$ y $30$ (no incluido) son todos los números primos!
He intentado buscar(búsqueda limitada, por supuesto) para los números $\gt 30$ que tienen esta propiedad, pero no pudo encontrar ninguna.
Hay tal cantidad de $\gt 30$?
La razón es que $30=2\cdot 3\cdot 5$, que son números primos consecutivos, por lo que cualquier número menor que $30$ no debe ser divisible por estos $3$ números para ser coprime. Si van a ser coprime pero no prime ellos, entonces tendría que ser divisible por otro de dos números primos (incluyendo multiplicidades), y al menos uno es de $7 dólares. Pero $2\cdot 3\cdot 5<7^2$.
Tales números (productos de números primos consecutivos) son llamados primorials, y crecen demasiado rápidamente para que esto ocurra de nuevo, para cualquier número por encima de los $30$ (por ejemplo, el siguiente número es de $210$, pero $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ y $121=11^2$ son coprime). Usted puede ver la OEIS lista para ver los primeros primorials, que serían candidatos para la propiedad que estás buscando, para ver lo grande que sea.
Vamos a $n>30$ de ser un número. Observar que $p^2<n$ implica $p|n$. Mus $2|$ n, $3|$ n, $5|$ n de seguir directamente desde $n>25>9>4$. Por lo tanto $$ n es un múltiplo de $30$ y $n>30$, lo cual implica $n\ge 60>49$ y por tanto $7|n$. Hasta ahora, $n$ es divisible por los cuatro más pequeño de los números primos.
Lema. El producto de cuatro números primos consecutivos es mayor que la de la plaza de la siguiente prime: $$\tag1p_kp_{k+1}p_{k+2}p_{k+3}> p_{p+4}^2.$$
Prueba: Usando el postulado de Bertrand, tenemos $p_{k+2}>\frac{p_{k+3}}2$, y $p_{k+4}\le 2p_{k+2}$, por lo tanto $(1)$ de la siguiente manera $$p_kp_{k+1}p_{k+2}p_{k+3}>3\cdot 5\cdot \frac{p_{k+3}}{2}p_{k+3}> 4p_{k+3}^2>p_{k+4}^2$$ al menos si $p_k\ge 3$. El caso $p_k=2$ se verifica directamente: $2\cdot3\cdot 5\cdot 7>11^2$. $_\cuadrado$
Ahora si $n$ es divisible por cuatro números primos consecutivos de $p_k,\ldots,p_{k+3}$, llegamos a la conclusión de $(1)$ que $n$ es también divisible por el siguiente primo, porque de lo contrario $p_{k+4}^2<$ n es primo relativo a $n$. Por lo tanto $n$ es divisible por los cuatro números primos consecutivos de $p_{k+1},\ldots,p_{k+4}$. Por inducción, concluimos que $n$ es divisible por todos los números primos, pero por supuesto eso es absurdo. Por lo tanto, no hay tal número de más de $30 dólares.
Deje que $\, p_i\,$ los $i$'th prime. Muchas pruebas (por ejemplo, debajo de) la utilización de $\, p_{n+1}\! < 2 p_n\, $ ( Bertrand) para demostrar que $\,p_{k+1}^2\! < p_1 p_2 \cdots p_k.\:$ Merece la pena destacar que esto se desprende de una mucho más débil de la hipótesis de que Bertrand. De hecho, sólo necesita $\ \color{#c00}{p_{k+1}\! < p_k^{3/2}}.\ $ El paso inductivo es $$\begin{eqnarray} && \qquad\ p_k^2 &<\,& p_1 p_2 \cdots p_{k-1} \\ && p_{k+1}^2/p_k^2 &<\,& p_k\ \ \ {\rm por}\ \ \ \ color{#c00}{p_{k+1} < p_k^{3/2}},\ \ \ \texto{por hipótesis}\\ \Rightarrow && \qquad p_{k+1}^2 &<\,& p_1 p_2 \cdots p_k\ \ \ \texto{multiplicando el anterior} \end{eqnarray}$$
¿Alguien sabe de una simple prueba de ello más débil de la hipótesis? $\ p_{k+1}\! < p_k^{3/2}\,$ para $\, k > 1.$
A continuación es una típica prueba de dicho formulario, de PlanetMath.
No hay números más grandes, para que todos los coprimes son números primos. Mientras que el 30 es la más grande el número, no hay múltiplos de 30 que contienen ocho primos, sin embargo, existen intervalos de la forma 30n+/-15, que contienen ocho primos (tales como alrededor de 1230).
La base más grande que contiene el primer décadas' es de 18 años. Un primer década es donde todo el conjunto de los números primos que existen entre dos múltiplos de la base son todos primos. Por ejemplo, en decimal, el co-primos de $101, 103, 107, 109$ son todos primos. Asimismo, hay cuatro primos de $8.1, 8.5, 8.7, 8.11$ en base 12, también son excelentes.
En $base 18$, son muy raros, pero existen. El segundo más pequeño comienza con $43776$, y se ejecuta $7.9.2.1$, $7.9.2.5$, $7.9.2.7$, $7.9.2.11$, $7.9.2.13$, $7.9.2.17$ son todos primos. Son supprisingly raras.
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