Calcular $\ln(2)$ utilizando la suma de Riemann.

Question

Posible duplicado:
Es $\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}} = 0$ ?

Demostrar que

$$\ln(2) = \lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2n}\right)$$

considerando la suma inferior de Riemann de $f$ donde $f(x) = \frac{1}{x}$ en $[1, 2]$

Para empezar, me confundí al ver la igualdad, ya que al tomar $n \rightarrow \infty$ para todos esos términos se convertiría en $0$ ¿verdad?

De todos modos, lo intenté a pesar de todo.

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}(f(1 + \frac{k}{n}))$$

$$= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}(\frac{1}{1+ \frac{k}{n}})$$

$$=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} = $$ la suma de la pregunta?

No estaba seguro de qué hacer a partir de aquí. Sin embargo, intenté algo más:

$$=\frac{1}{n + \frac{n(n+1)}{2}}$$

$$=\frac{2}{n^2 + 3n}$$ que parecía igualmente inútil si estoy tomando $n \rightarrow \infty$ ya que todo se convierte en $0$ .

Answer 1

MÉTODO I

Podemos recordar el célebre límite que da la constante de Euler-Mascheroni, a saber

$$\lim_{n\to\infty} 1+\frac1{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln{n}={\gamma}$$ $\tag{$\gamma$ is Euler-Mascheroni constant}$ Entonces todo se reduce a: $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n} = \lim_{n\to\infty}{\gamma}+\ln{2n}-{\gamma}-\ln{n}= \ln{2}.$$

MÉTODO II

Utilizar una de las consecuencias del teorema de Lagrange aplicado sobre $\ln(x)$ función, a saber:

$$\frac{1}{k+1} < \ln(k+1)-\ln(k)<\frac{1}{k} \space , \space k\in\mathbb{N} ,\space k>0$$

Tomando $k=n,n+1,...,2n$ a la desigualdad y luego sumando todas las relaciones, obtenemos todo lo que necesitamos para aplicar el teorema de Squeeze.

MÉTODO III

Podemos utilizar la identidad de Botez-Catalán y obtenerla inmediatamente:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n} = \lim_{n\to\infty} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + (-1)^{2n+1}\frac{1}{2n}= $$ $$\lim_{n\to\infty} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + (-1)^{n+1}\frac{1}{n}=\ln{2}.$$ El límite de la última serie se obtiene utilizando la expansión de Taylor de $\ln(x+1)$ y tomar $x=1$

Las pruebas están completas.

Answer 2

Aunque los términos de la suma van a $0$ como $n\to0$ Hay $n$ términos y cada uno está entre $\dfrac1n$ y $\dfrac{1}{2n}$ Por lo tanto, la suma debe estar entre $1$ y $\dfrac12$ .

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Hay al menos un par de maneras de ver la suma $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ :

Limitado por las integrales:

Desde $\frac1x$ es una función decreciente, obtenemos que

$$ \log\left(\frac{2n+1}{n+1}\right)=\int_{1}^{n+1}\frac{\mathrm{d}x}{n+x}\le\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\le\int_{0}^{n}\frac{\mathrm{d}x}{n+x}=\log(2)\tag{1} $$ Ambos lados de $(1)$ ir a $\log(2)$ como $n\to\infty$ y la suma está intercalada.

Sumas de Riemann:

La suma se puede reescribir como $$ \sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\frac1n\tag{2} $$ que es una suma de Riemann para la integral $$ \int_0^1\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x\tag{3} $$ donde $\frac{k}{n}$ se aproxima a $x$ y $\frac1n$ se aproxima a $\mathrm{d}x$ .

Como $n\to\infty$ la malla representada en $(2)$ se hace más fina y la suma se acerca a la integral, cuyo valor es $\log(2)$ .

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Tenga en cuenta que $\log(2)\,\dot{=}\,0.69314718$ está entre $1$ y $\frac12$ como se ha mencionado anteriormente.

Answer 3

¡Ya casi lo has conseguido! $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2$$

La igualdad central anterior se desprende del hecho de que sabemos que la integral de la derecha existe y por tanto es igual al límite de sus sumas de Riemann no importa cómo hagamos esas sumas en el límite (siempre, claro está, que la malla de partición del intervalo tienda a cero)