Minimizar el valor de esta integral $ I \equiv \int_{0}^{\pi/2}\left\vert\,\cos\left(x\right) - kx^{2}\,\right\vert \,{\rm d}x $

Question

Dada la integral

$$ I \equiv \int_{0}^{\pi/2}\left\vert\,\cos\left(x\right) - kx^{2}\,\right\vert \,{\rm d}x $$

Encuentre el valor de $k$ para que $I$ es mínimo.

¿Cómo empiezo?

Answer 1

Tenemos que minimizar la función $$I(p):=\int_0^{\pi/2}\bigl|\cos x -p x^2\bigr|\ dx\qquad(p\in{\mathbb R})\ .$$ Cuando $p<0$ entonces, obviamente $I(p)>I(0)=1$ . Cuando $p>0$ entonces la parábola $y=p\,x^2$ se cruza con la curva $y=\cos x$ en un punto $x=t$ con $0<t<{\pi\over2}$ en función de $p$ . Ahora dejamos que $t>0$ sea nuestro nuevo parámetro y entonces tengamos $$p={\cos t\over t^2}\ .$$ Esto significa que ahora tenemos que minimizar la función $$\eqalign{g(t)&:=I(\cos t/ t^2)\cr &=\int_0^t (\cos x-x^2\cos t/t^2)\ dx+ \int_t^{\pi/2} (x^2\cos t /t^2-\cos x)\ dx\cr &=2\sin t+{\pi^3-16t^3\over 24 t^2}\cos t -1\qquad(0<t<\pi/2)\ .\cr}$$ Cuando la función $g$ no es monótona, entonces será necesaria la solución de la ecuación trascendental $g'(t)=0$ . Por lo tanto, veremos el problema utilizando Mathematica. Aquí está el resultado:

Resulta que $g$ tiene un mínimo en $t_*\doteq1.25$ y se obtiene $g(t_*)\doteq0.89592$ .

Answer 2

1. Cálculo heurístico

Diferenciando bajo el signo de la integral, tenemos

$$ I'(k) = \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sign}(\cos x - kx^{2}) (-x^{2}) \, dx. $$

Dejemos que $k_{0}$ sea el punto mínimo y $\cos\alpha - k_{0}\alpha^{2} = 0$ . Entonces

$$ 0 = I'(k_{0}) = - \int_{0}^{\alpha} x^{2} \, dx + \int_{\alpha}^{\pi/2} x^{2} \, dx = \frac{\pi^{3}}{24} - \frac{2\alpha^{3}}{3}. $$

Resolviendo esto, obtenemos $\alpha = \frac{\pi}{2^{4/3}}$ y por lo tanto

$$k_{0} = \frac{\cos \alpha}{\alpha^{2}} = \frac{2^{8/3}}{\pi^{2}} \cos \left( \frac{\pi}{2^{4/3}} \right) \approx 0.20485055820305523635\cdots. $$

2. Preliminar

Para mayor rigor, se introducen las siguientes observaciones. Puede omitir el detalle cuando sólo le interese el cálculo real.

Observación 1. $I(k)$ tiene un punto mínimo, y cada punto mínimo de $I(k)$ se encuentra en $[0, \infty)$ .

Prueba. Por la desigualdad del triángulo,

$$ I(k) \geq \int_{0}^{\pi/2} |k| x^{2} - \cos x \, dx = \frac{\pi^{3}|k|}{24} - 1 \xrightarrow{|k|\to\infty} \infty. $$

y por lo tanto $I(k) \to \infty$ como $|k| \to \infty$ . En otras palabras, $I(k)$ es coercitivo . Así que $I$ alcanza un mínimo en algún momento. Además, si $k \leq 0$ entonces $|\cos x - kx^{2}| = \cos x - kx^{2}$ y por lo tanto

$$ I(k) = 1 - \frac{\pi^{3}k}{24}, \quad k \leq 0, $$

que es decreciente. Esto demuestra que si $I$ tiene el mínimo, entonces se produce cuando $k \geq 0$ . ////

Observación 2. Si $k > 0$ la solución única $x = \alpha(k)$ a $$\cos x - kx^{2} = 0, \quad 0 < x < \tfrac{\pi}{2} $$ define una función suave $\alpha : k \mapsto \alpha(k)$ .

Prueba. Dejemos que $D = \{ (x, k) : 0 < x < \frac{\pi}{2} \text{ and } k > 0 \}$ y $F : D \to \Bbb{R}$ definirse como

$$F(x, k) = \cos x - kx^{2}.$$

Entonces $F$ es estrictamente decreciente para cada $k > 0$ :

$$ \frac{\partial F}{\partial x} = -\sin x - 2kx < 0. \tag{*} $$

Además, $F(0, k) = 1$ y $F(\frac{\pi}{2}, k) < 0$ . Así, por el Teorema del Valor Intermedio, para cada $k > 0$ existe un único $\alpha(k) \in (0, \frac{\pi}{2})$ tal que $F(\alpha(k), k) = 0$ .

Ahora por el Teorema de la Función Implícita con $\text{(*)}$ el conjunto de niveles $F(x, k) = 0$ es localmente la gráfica de una función suave. Pero ya sabemos que el conjunto $F(x, k) = 0$ es el gráfico de $\alpha$ . Por lo tanto, $\alpha$ es suave. ////

3. Justificación de la heurística

Ahora estamos listos para calcular el punto mínimo. Obsérvese que

\begin{align*} I(k) &= \int_{0}^{\alpha(k)} (\cos x - kx^{2}) \, dx - \int_{\alpha(k)}^{\pi/2} (\cos x - kx^{2}) \, dx. \tag{1} \end{align*}

es una función suave de $k$ para $k > 0$ . Diferenciando $\text{(1)}$ y utilizando la identidad

$$\cos\alpha(k) - k \alpha(k)^{2} = 0,$$

obtenemos el siguiente resultado sencillo para $ k > 0$ :

\begin{align*} I'(k) &= \int_{0}^{\alpha(k)} (-x^{2}) \, dx - \int_{\alpha(k)}^{\pi/2} (-x^{2}) \, dx = \frac{\pi^{3}}{24} - \frac{2\alpha(k)^{3}}{3}. \end{align*}

Desde $\alpha(0^{+}) = \frac{\pi}{2}$ tenemos $I(0^{+}) < 0$ y por lo tanto $I$ también está disminuyendo cerca de $k = 0$ . Así que cualquier punto mínimo $k_{0}$ de $I$ se produce en $k_{0} > 0$ .

Por lo tanto, debemos obtener $I'(k_{0}) = 0$ y resolviendo esta ecuación en términos de $\alpha(k_{0})$ da

$$ \alpha(k_{0}) = \frac{\pi}{2^{4/3}} \approx 1.2467418707910012667\cdots. $$

Por lo tanto, el punto mínimo $k_{0}$ es única y viene dada por

$$ k_{0} = \frac{\cos \alpha(k_{0})}{\alpha(k_{0})^{2}} = \frac{2^{8/3}}{\pi^{2}} \cos \left( \frac{\pi}{2^{4/3}} \right) \approx 0.20485055820305523635\cdots. $$