Cómo puedo probar $\sqrt{(111...)+(55...)^2}=5...6$

Question

La fórmula en mi pregunta se puede ilustrar como sigue:

$$\sqrt{11+5^2}=6$$ $$\sqrt{111+55^2}=56$$ $$\sqrt{1111+555^2}=556$$ $$\sqrt{11111+5555^2}=5556$$ and so on

Cómo puedo demostrar la fórmula general

$$\sqrt{\underbrace{11\ldots 1}_{n+1\text{ times}} + (\underbrace{55\ldots 5}_{n\text{ times}})^{2}} = (\underbrace{55\ldots 5}_{n-1\text{ times}}6)^{2}$$

Answer 1

Estas igualdades son sólo instancias de %#% $ #%

Answer 2

Sugerencia: reescribir sus declaraciones como:

$$6^{2}-5^{2} = 11$$

$$56^{2}-55^{2}=111$$

$$\cdots$$

Y demostrarlo mediante la diferencia de cuadrados (factor de la expresión).

Answer 3

Tenemos\begin{align} \underbrace{\dfrac{10^{n+1}-1}9}_{1111\ldots11} + \underbrace{\left(5\cdot \dfrac{10^n-1}9\right)^2}_{555\ldots55^2} & = \dfrac{9\cdot 10^{n+1} - 9 + 5^2 \cdot 10^{2n} - 5^2\cdot 2 \cdot 10^n + 5^2}{9^2}\\ & = \dfrac{5^2 \cdot 10^{2n} + 4 \cdot 10^{n+1} + 16}{9^2}\\ & = \underbrace{\left(5 \cdot \dfrac{10^n-1}9 + 1\right)^2}_{555\ldots56^2} \end {Alinee el}