Qué espacio hiperbólico * realmente * parece

Question

Hay varios modelos de espacio hiperbólico que están incrustados en el espacio Euclidiano. Por ejemplo, la siguiente imagen muestra la Beltrami-Klein modelo de un plano hiperbólico:

donde geodesics están representados por líneas rectas. La siguiente imagen, en el otro lado, representa el modelo de Poincaré de el mismo plano hiperbólico:

donde geodesics están representados por segmentos de círculos en intersección de los límites de la disco ortogonalmente. Ambos modelos de capturar toda la $n$-dimensional espacio hiperbólico en un disco (o, más en general, un Euclidiana $n$-ball).

Yo estaba pensando en qué espacio hiperbólico sería "realmente parece que" desde la perspectiva de un observador en el espacio. Lo que me vino a la mente fue el exponencial mapa, que asigna un elemento del espacio de la tangente $\mathrm{T}_PM$ de un punto de $p$ en un colector $M$ a otro punto en el colector:

Intuitivamente, la exponencial mapa sigue la línea geodésica sobre el colector de que "sale" de la dirección especificada pertenecientes al espacio de la tangente. Por ejemplo, la exponencial mapa de la Tierra vista desde el polo norte es el polar azimutal equidistante de proyección en la cartografía:

Esto parece ser lo elíptica espacio "realmente parece que" desde la perspectiva de un observador en el espacio, puesto que la luz llega a nuestros ojos viajando a lo largo geodesics.

Esta página y esta página que demos. Usted puede hacer clic para obtener una sensación de ¿qué mueve a través de una elíptica espacio vería, aunque, por supuesto, geodesics puede ir más allá de los límites de la disco en la demo varias veces la envoltura alrededor de la esfera de la Tierra.

Por todo esto, mi pregunta es la siguiente:

¿Qué hace el mapa exponencial desde algún punto en un espacio hiperbólico parecer, suponiendo que el contenido del espacio, se encuentran representados por los modelos anteriores? Hay demos y ejemplos?

Edit: Esta pregunta parece estar relacionados.

Edit 2: La última sección de este video muestra el azimutal equidistante de la proyección de un plano hiperbólico a ser

Edit 3: Véase también el de Riemann normal de coordenadas.

Answer 1

Una forma común para visualizar la "intrínseca apariencia" de un simple conectado universo de curvatura constante $\pm 1$ es para darle el tamaño angular de un objeto se modela como una geodésica arco de (lo suficientemente pequeño) longitud de $\ell$ colocado a una distancia $d$ de un ojo. (Yo no lo intente ejecutar el vinculado applets, y no estoy seguro de si implementa esta estrategia.)

En un ámbito de la unidad de la curvatura de un círculo de geodésica radio de $d$ ha circunferencia $2\pi \sin d$; un objeto de longitud $\ell$ ("ortogonal a la línea de visión"), por lo que subtienda un ángulo de $\theta \approx \ell/\sin d$.

Jugando al mismo juego en el plano hiperbólico, un círculo de geodésica radio de $d$ ha circunferencia $2\pi \sinh d$; un objeto de longitud $\ell$ (ortogonal a la línea de visión), por lo que subtienda un ángulo de $\theta \approx \ell/\sinh d$. Como en mercio comentario, este ángulo disminuye exponencialmente con la $d$.

Si la longitud característica es de un metro (es decir, un círculo de radio $d$ metros tiene la circunferencia de la $C = 2\pi \sinh d$ metros), luego de un objeto en la distancia hiperbólica $d$ metros aparece (para nuestro Euclidiana intuición) a ponerse en pie $d' = \sinh d$ metros: $$ \begin{array}{l|ccccccc} d = & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 10 & 100 \\ \hline % C \approx & 7.384 & 22.79 & 62.944 & 171.468 & 466.233 & 69198.183 & 8.445 \times 10^{43} \\ d' \approx & 1.175 & 3.627 & 10.018 & 27.29 & 74.203 & 11013.233 & 1.344 \times 10^{43} \\ \end{array} $$ En particular, un objeto de diez metros de distancia en el espacio hiperbólico parece ser más de once kilómetros de distancia, y un objeto de cientos de metros de distancia subtienda un ángulo demasiado pequeño como para ser cosmologically significativa (formal distancia de alrededor de $1.4 \times 10^{27}$ de años-luz).

Análogas conclusiones en tres dimensiones de la esfera o en tres dimensiones espacio hiperbólico. El principal punto cualitativo es, es fácil de ocultar (o a ser irremediablemente perdido) en el espacio hiperbólico.

Jeffrey Semanas geometría de software parece que pueda ser de interés. Su libro La Forma del Espacio (cfr) es una excelente lectura.

Answer 2

El Beltrami-Klein modelo es una descripción precisa de lo que se vería en el espacio hiperbólico. Para ser un poco más preciso, si usted vive en 3 dimensiones espacio hiperbólico $\mathbb{H}^3$, y si $P \subset \mathbb{H}^3$ es un 2-dimensional plano hiperbólico de baldosas de color rojo y blanco triángulos con ángulos $\pi/2,\pi/3,\pi/7$ como en la imagen que se muestra en la pregunta, y si tu ojo está situado en un punto en $Q$ a cierta distancia de la $P$, entonces lo que puedes ver es exactamente esa imagen.

La razón intuitiva de esto es que geodesics son líneas rectas, y que es la forma en que aparecen a sus ojos.

En un poco más de detalle, se puede demostrar analíticamente que si usted toma la línea recta de proyección de una geodésica en $X$ sobre la unidad de la tangente a la esfera de $T^1_Q (\mathbb{H}^3)$ $\mathbb{H}^3$ en el punto de $Q$, entonces el resultado es un gran segmento de círculo en $T^1_Q (\mathbb{H}^3)$.

Una característica interesante de este hecho es que a partir de $Q$ uno puede "ver" el círculo infinito de la $P$, tal como muestra la imagen.