Diferencia entre las matrices ortogonales y ortonormales

Question

Deje que $Q$ ser un $N \times N$ matriz unitaria (sus columnas son ortonormales). Entiendo que como Q es unitaria, preservaría la norma de cualquier vector $X$ es decir, $||QX||^2=||X||^2$ .

Mi confusión viene cuando las columnas de $Q$ son ortogonales, pero no ortonales, como si las columnas estuvieran ponderadas por pesos $w_1,...,w_N$ el producto de los puntos de dos columnas diferentes seguiría siendo cero, pero $Q^HQ \neq I$ más. Primero, como se llaman estas matrices, la literatura siempre se refiere a las matrices con columnas ortonormales como ortogonales, sin embargo creo que eso no es del todo exacto. Segundo, ¿cambiaría una matriz cuadrada con columnas ortogonales, pero no orthonormales, la norma de un vector.

Answer 1

Si $Q=(x_1,\ldots,x_n)$ es una matriz con columnas ortogonales ( $x_i^Hx_j=0$ ), siempre que sus columnas $x_1,\ldots,x_n$ son distintos de cero, tenemos $$ Q=\left(\frac{x_1}{\|x_1\|},\ldots,\frac{x_n}{\|x_n\|}\right)\begin{pmatrix}\|x_1\|\\ &\ddots\\ &&\|x_n\|\end{pmatrix}=UD. $$ Por lo tanto, $Q$ es el producto de una matriz unitaria $U$ con una matriz diagonal $D$ . La matriz unitaria $U$ preserva la norma, pero la matriz diagonal $D$ en general no lo hace.

Answer 2

Para la segunda pregunta: sí, las columnas de la matriz son la imagen de la base canónica. Por lo tanto, si una columna tiene norma distinta de uno, el vector correspondiente de la base (que tiene norma 1) cambia su norma.