Integral definida $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\! \frac{\sin x }{\sqrt{\sin 2x}}\,\mathrm{d} x$

Question

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\! \frac{\sin x }{\sqrt{\sin 2x}}\,\mathrm{d} x$$

Estoy bastante seguro de que puedo terminarlo después de encontrar la antiderivada. He intentado cambiar el denominador a $2\sin x \cos x$ y la subvención $u$ como $\sin x$ .

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\! \frac{\sin x }{\sqrt{2\sin x\cos x}}\,\mathrm{d} x$$

Answer 1

Esto se puede escribir como

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan x}\, dx$$

Ahora sustituye $t^2 = \tan x$ $-$ esto es válido ya que $\tan x \ge 0$ para $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ .

Entonces $2t\, dt = (1+t^4)\, dx$ por lo que la integral es igual a

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\infty} t \cdot \dfrac{2t}{1+t^4}\, dt$$

Intenta hacerte cargo desde aquí; avísame si tienes más problemas.

Deberías terminar con $\dfrac{\pi}{2}$ y es posible encontrar una forma cerrada para la antiderivada.

Answer 2

Tras un poco de álgebra, obtenemos

$$\int_0^{ \frac{\pi}{2}}\! dx \: \frac{\sin x }{\sqrt{\sin 2x}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx \: \frac{\sin{x}}{\sqrt{\cos{x} \sqrt{1-\cos^2{x}}}}$$

Sustituir $u=\cos{x}$ :

$$\int_0^{ \frac{\pi}{2}}\! dx \: \frac{\sin x }{\sqrt{\sin 2x}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 du \: u^{-1/2} (1-u^2)^{-1/4}$$

Ahora sustituye $v = u^2$ :

$$\begin{align} \int_0^{ \frac{\pi}{2}}\! dx \: \frac{\sin x }{\sqrt{\sin 2x}} &= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int_0^1 dv \: v^{-3/4} (1-v)^{-1/4} \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Gamma \left( \frac{1}{4} \right ) \Gamma \left( \frac{3}{4} \right ) \\ &= \frac{\pi}{2} \end{align}$$

Este último paso proviene de la relación

$$\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin{\pi z}}$$