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Si derivado de una función es la función cero en $\mathbb R^n$, entonces la función es constante cuando el dominio es trayectoria-conectado

Algunas definiciones primera. Deje $A \subseteq \mathbb R^n$. Deje $x,y \in A$. Un camino entre el $x$ $y$ es una función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n$$f(0) = x$$f(1) = y$. El conjunto $A$ es la ruta de acceso conectado cuando para cada $x, y \in A$, existe un $C^1$ camino entre el$x$$y$.

Deje $f: A \rightarrow \mathbb{R}^m$ ser una función, con $A \subseteq \mathbb{R}^n$. Supongamos que $f'(a) = 0$ todos los $a \in A$. Ahora si $A$ es el camino-conectado, a continuación, $f$ es constante.

En una prueba de vi de este teorema la propiedad de que cada camino entre dos puntos es $C^1$ es utilizado. Mi pregunta es: es esto necesario? Si es así, me gustaría ver un contraejemplo. En otras palabras, estoy buscando una función de $f: A \rightarrow \mathbb{R}^m$ con cero derivados en todas partes, $A$ tal que existe un camino entre cualquier par de puntos (pero el camino no es necesariamente $C^1$) y $f$ NO es constante.

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Grzenio Puntos 16802

Como se señaló en los comentarios, tal función no puede existir. Con el fin de definir "$f$ es diferenciable", que necesita su conjunto. Cada par de puntos en un abrir y conectado conjunto puede ser conectado por un camino liso, ver más abajo. Su argumento, a continuación, muestra que $f$ debe ser constante. (Alternativamente, usted puede argumentar como Amitesh sugiere)


He aquí una prueba de que el hecho de que dos puntos cualesquiera de una abierta y conectada con el conjunto de $U \subset \mathbb{R}^n$ puede ser conectado por un seccionalmente suave ruta:

Definir una relación de equivalencia en $U$ $x \sim y$ si y sólo si hay un seccionalmente suave camino de $\gamma: [a,b] \to U$ tal que $\gamma(a) = x$$\gamma(b) = y$.

Deje $x \in U$ ser arbitraria.

Observe que la clase de equivalencia de a $[x]$ $x$ está abierto. Si $y \in [x]$ hay algunas abrir balón $B_r(y) \subset U$. Podemos conectar $y$ a cualquier punto de $z \in B_{r}(y)$ usando el segmento de línea recta $(1-t)y + tz$, $t \in [0,1]$.

Desde el complemento de $[x]$ es una unión de (abierto) de clases de equivalencia, $[x]$ es cerrado. Por lo tanto, $[x]$ es abierto, cerrado y no vacío, por lo tanto todos los de $U$ por la conexión.


Si usted desea conseguir un "buen camino" en lugar de sólo "seccionalmente suave caminos", perfeccionar el argumento ligeramente, permitiendo que sólo las rutas de $\gamma: [a,b] \to U$ tal que $\gamma|_{[a,a+\varepsilon)} \equiv a$ $\gamma|_{(b-\varepsilon,b]} \equiv b$ algunos $\varepsilon \gt 0$. Entonces la concatenación de dos rutas de acceso es todavía un buen camino. En lugar de tomar el segmento de línea recta que conecta $y$ $z$ tomar una función suave $f: [0,1] \to [0,1]$ tal que $f|_{[0,\varepsilon)} \equiv 0$ $f((1-\varepsilon, 1] \equiv 1$ y tomar el camino de $(1-f(t))y + f(t)z$.

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