Algunas definiciones primera. Deje $A \subseteq \mathbb R^n$. Deje $x,y \in A$. Un camino entre el $x$ $y$ es una función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n$$f(0) = x$$f(1) = y$. El conjunto $A$ es la ruta de acceso conectado cuando para cada $x, y \in A$, existe un $C^1$ camino entre el$x$$y$.
Deje $f: A \rightarrow \mathbb{R}^m$ ser una función, con $A \subseteq \mathbb{R}^n$. Supongamos que $f'(a) = 0$ todos los $a \in A$. Ahora si $A$ es el camino-conectado, a continuación, $f$ es constante.
En una prueba de vi de este teorema la propiedad de que cada camino entre dos puntos es $C^1$ es utilizado. Mi pregunta es: es esto necesario? Si es así, me gustaría ver un contraejemplo. En otras palabras, estoy buscando una función de $f: A \rightarrow \mathbb{R}^m$ con cero derivados en todas partes, $A$ tal que existe un camino entre cualquier par de puntos (pero el camino no es necesariamente $C^1$) y $f$ NO es constante.