Grupo de transformaciones de la esfera, impresionando a amigos

Question

Ok, así que aquí está la historia: estoy leyendo un libro sobre álgebra y, a través de algunos ejercicios, descubrió que en cualquier grupo de $G$, la orden de $x \cdot y$, escrito $o(x \cdot y)$, es igual a $o(y \cdot x)$. Ahora, esto es trivial en un grupo abelian, pero yo estaba buscando ejemplos de un no-grupo abelian (simplemente porque el resultado fue muy interesante) para ver que esto suceda.

Por supuesto, yo sabía $GL(2, \mathbb{R})$ y la permutación de grupos. Sin embargo, literalmente, por casualidad (yo tenía una pelota en la mano), me di cuenta de que $m(90)$ grado de rotación de una esfera - $m \in \mathbb{N}$ - son también un no-grupo abelian. (Que es, vamos a $G$ ser el conjunto de transformaciones de algunos distinguidos punto de una esfera a través de los ángulos rectos, como la transformación hacia adelante, o hacia la derecha, o de derecha. El grupo de operación de la composición, y la identidad es el "no hacer nada" transformación).

Este descubrimiento se presta a un truco que me parece clara: tomar una secuencia de operaciones, y encontrar su fin. (Como $o(\text{fwd cwise left left})$,$3$.) A continuación, tomar cualquier permutación cíclica de la secuencia, y dispone de una secuencia de la misma orden.

Si usted realmente tiene una esfera en la que (me tomó un balón y sacó un poco de flecha) y se le pregunta a alguien para un niño de ocho término de la secuencia y, a continuación, al instante de dar vuelta un (bien mezclado, irreconocible) secuencia de la misma orden, y mostrarles que estamos en lo correcto, en el lugar - esto es impresionante.

Bien, bien... de hecho, esa es la cosa. Puedo encontrar es impresionante; mis amigos no. Este vagos de mí.

Entonces, mi pregunta: ¿cómo puedo aplicaciones de este truco? Pensé acerca de la memorización de una "base" para todas las secuencias de una longitud determinada, es decir, saber lo suficiente secuencias que cualquiera de ellos son de conmutación equivalente con el que conozco; pero, por desgracia, esto no es práctico. ¿Alguien sabe cómo hacer esto mejor?

Answer 1

La magia de los matemáticos se descolora lejos si saben el básico

$$ba=a^{-1}(ab)a$$

que muestran que en cualquier grupo, el % de elementos $\,ab\,,\,ba\,$son conjugado y por lo tanto tienen el mismo orden.

Los no matemáticos más probablemente serán no sólo no entender lo anterior, pero en realidad no incluso ser interesados en todo.

Answer 2

Bueno, para empezar yo podría usar un objeto diferente. Desde el nonabelian grupo que se está describiendo es el grupo de simetrías de un cubo (o un octaedro) ¿por qué no usar uno de esos? Tal vez de usar una de las seis caras de morir así que usted puede controlar las rotaciones con bastante facilidad?

Hay alguna otra idea interesante enigmas sobre el orden del grupo. Uno de mis favoritos es la identificación de los elementos de $S_{52}$ con formas de barajar un mazo de cartas. Encontrar el mayor orden de un elemento en el que el grupo produce un hecho interesante: a pesar de que hay acerca de $10^{68}$ formas de barajar un mazo, cualquier determinista shuffle producirá la cubierta original después de $\leq 360360 $ iteraciones!

Answer 3

Voy a salir en una extremidad aquí y pensamiento completamente fuera de la caja (o, en su forma, de la esfera).

¿Por qué no hacer algo un poco más simple, pero mucho más interesante (en el sentido de que es más imaginativo? Siendo de 16 y disfrutar de las matemáticas es difícil, así que he tenido que pensar fuera de la esfera. He aquí un escenario pensé:

Hay este clásico arroz problema que implica a alguien (un matemático en la clandestinidad?) y un rey. El que alguien hace algo impresionante para el rey y el rey es como, "te daré cualquier deseo que quieras". Así que la persona responde, "quiero que llenar un tablero de ajedrez con arroz en el siguiente proceso: Poner un grano en el primer espacio, el doble y lo puso en el siguiente espacio, y así sucesivamente."

Como ustedes saben, la cantidad total de arroz es una serie geométrica. En última instancia, en la historia, el que alguien ha quebrado el rey del reino después de los primeros espacios (el 18, tal vez?). Ignorando la terrible ambigüedad de mi historia, esto es lo que propongo: Encontrar un nonmathematical amigo (o, posiblemente, un matemático) y simplemente les pregunta, "¿Puede el arroz quebrado un reino?"

Supongamos que usted tiene buenas habilidades sociales y son un buen contador de historias, no es una diversión y la matemática conversación allí!

P. S. Si dicen que sí, pregúnteles cómo. Si ofrecen una buena explicación o ninguna explicación, diles que tienes un ingenioso uno y narrar la historia.