No, el resultado no es denso para todos $k\in(0,1)$ . Un valor particular donde no es denso es $k=2/3$ .
Para ver esto, imagine el $x$ 's escritas como fracciones de base 3. Entonces $x\mapsto x-kx=\frac13x$ corresponde a la inserción de un 0 después del punto de fracción y desplazando todos los tritos existentes una posición a la derecha. Y $x\mapsto x+k(1-x)=\frac23+\frac13x$ corresponde a la inserción de un 2 después del punto de la fracción y también desplazando todos los tritos existentes una posición a la derecha.
Por lo tanto, a excepción de los contables puntos que son golpeados exactamente, los únicos números que pueden ser aproximados por la secuencia son los Conjunto Cantor .
Más primitivamente, para cualquier $k>1/2$ hay un intervalo alrededor de $x=1/2$ que nunca puede ser alcanzado por o bien de las dos operaciones, y así $X_\infty$ no es ciertamente denso en ese intervalo.
Por otro lado, un argumento muy similar muestra que el resultado para $k=1/2$ es denso. Sospecho que $\overline{X_\infty}=[0,1]$ para todos $k\in (0,1/2]$ .
Añadido más tarde: De hecho, esta construcción se generaliza directamente a cualquier $k\in(0,\frac 12]$ . Esbozo de prueba:
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Para cualquier secuencia infinita $(a_n)$ de $0$ s y $1$ s, considere la serie $$\tag{*}A=\sum_{n=0}^\infty k(1-k)^na_n $$ y asumiendo que converge decimos que $(a_n)$ es una "expansión binaria modificada" de $A$ .
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Si conocemos una expansión binaria modificada para $A$ entonces los posibles sucesores de $A$ bajo sus reglas de paso tienen expansiones binarias modificadas que surgen al desplazar la de $A$ una posición a la derecha y poniendo $0$ o $1$ frente a ella. (Para probar esto sólo hay que factorizar una $(1-k)$ de la serie para las dos expansiones sucesivas, y simplificar).
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Demostrar que cada $A\in[0,1]$ tiene al menos una expansión binaria modificada (en realidad son muchas esas expansiones en la mayoría de los casos, pero eso no es importante). Para ello, basta con elegir los bits de uno en uno, de forma que cuando hayamos elegido $a_0$ a través de $a_m$ el intervalo $$I_m = \left[\sum_{n=0}^m k(1-k)^na_n,\quad (1-k)^m+\sum_{n=0}^m k(1-k)^na_n \right]$$ contiene $A$ . Podemos seguir haciéndolo siempre, porque la unión de las dos posibilidades de $I_{m+1}$ es exactamente $I_m$ (aquí es donde usamos $k\le\frac 12$ ). Además, la longitud del $I_m$ s van hacia cero (porque $k>0$ ), por lo que las sumas parciales de $(*)$ debe converger hacia $A$ .
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Elija alguna expansión binaria modificada $(x_n)$ para su inicio $x$ . Entonces $X_\infty$ consiste exactamente en aquellos números que tienen expansiones binarias modificadas de la forma $(b_0,b_1,\ldots,b_m,x_0,x_1,\ldots)$ para algunos $m\ge 0$ y algunos $b_n$ s en ${0,1}$ .
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Dejemos que $Y\in[0,1]$ ser arbitrario; queremos mostrar así $Y\in\overline{X_\infty}$ . Ahora $Y$ debe tener una expansión binaria modificada $(y_n)$ . Entonces, para cada $m\in\mathbb N$ , dejemos que $$ Q_m = \left(\sum_{n=0}^m k(1-k)y_n\right)+(1-k)^{m+1}x$$ Está claro que $Y$ es el límite de la $Q_m$ s, y cada $Q_m$ está en $X_\infty$ porque tiene la expansión binaria modificada $(y_0,y_1,\ldots,y_m,x_0,x_1,\ldots)$
