Tratando de entender el uso de la "palabra" retirada/diferencial.

Question

Esencialmente, mi pregunta es la siguiente :

Es todo lo que llamamos "retroceso" o "pushforward" un real categórica retroceso/pushout?

He visto toneladas de pullbacks en la geometría diferencial, pero no nos importa mucho acerca de functors entonces. Ahora estoy haciendo la geometría algebraica y necesitamos presheaves todo el tiempo, y si $\mathcal F$ es un presheaf sobre un espacio topológico $X$ $f : X \to Y$ un mapa continuo, podemos pushforward $\mathcal F$ a la presheaf $f_* \mathcal{F} \overset{def}= \mathcal F \circ f^{-1}$ donde $f^{-1}$ es visto como un functor $f^{-1} : \mathcal T(Y) \to \mathcal T(X)$. Para tratar de ver a éste como un retroceso, empecé con la propiedad conmutativa de la plaza de la retirada de $Y$$f$$X$, así que tengo una plaza con $f^{-1}(X)$, $X$ en la parte superior y dos a $Y$'s en la parte inferior. Luego de aplicar la "topología functor" (que se asigna a $X$ a su topología, visto como una categoría porque es un preorder) y me sale otro diagrama, que ahora es un pushout ; puedo agregar una flecha en la parte superior de $\mathcal T(X)$ ( $\mathcal F$ ) y aprovecho el pushout de este diagrama, que me da... no mucho.

¿Alguien ha tratado de averiguar esto, y si sí, ¿qué regalar? Usted puede utilizar otro ejemplo si ayuda.

Answer 1

Los tres significados de la retirada vienen juntos cuando usted piensa acerca de cómo tirar un vector paquete en un espacio de $Y$ a lo largo de un mapa de $f : X \to Y$. Hay tres maneras de pensar acerca de esto:

• A través de una clasificación de mapa: si $g : Y \to B \text{GL}_n$ es la clasificación de mapa del vector paquete, a continuación, la clasificación del mapa de la retirada de un lote a $X$ es de la precomposición $g \circ f$. (Esta es una manera en que la gente utiliza "la retirada.")
• A través de su gavilla de secciones: este es el retroceso en el familiar sheafy sentido.
• A través de su espacio total: si $p : E \to Y$ es el paquete de mapas, su retirada a $X$ es de la categoría de pullback $X \times_Y E$ junto con su proyección a $X$.

No todo lo que se llama un pullback es una categoría de retroceso, sin embargo. En general, si usted tiene una categoría de espacios y algunos de asignación de $X \mapsto F(X)$ de una categoría a cada espacio, si usted puede también definir functors $f^{\ast} : F(Y) \to F(X)$ asociado a los mapas,$f : X \to Y$, entonces usted probablemente va a llamar pullbacks, y si se puede también definir functors $f_{\ast} : F(X) \to F(Y)$ asociado a los mapas,$f : X \to Y$, entonces usted probablemente va a llamar pushforwards. De la categoría de retroceso se produce cuando $F(X)$ es razonable subcategoría de la categoría de los espacios de más de $X$, pero hay otros ejemplos interesantes.

Answer 2

Creo que el contexto adecuado para la comprensión de los pullbacks y pushforwards geométrica que la configuración es la de un fibred categoría. Esta es una noción que, debido a Grothendieck, que formaliza la situación de tener alguna categoría de espacios geométricos, y para cada uno una categoría de objetos geométricos que viven sobre él, con retirada de functors ($f^*$) y, posiblemente, a la izquierda y a la derecha adjoints ( $f_!$ $f_*$).

Esto abarca tanto el ejemplo de vector de paquetes en espacios topológicos (o colectores, esquemas), y el ejemplo de las poleas en espacios topológicos (o colectores, esquemas). Sin embargo, a diferencia del primer ejemplo, el segundo no encajan en el marco de la categórica la retirada. De hecho, la categoría de retroceso sólo tiene sentido en lugares donde uno tiene la estructura de morfismos (por ejemplo, $E \to X$ $E$ un vector paquete en la $X$ o $X \to \mathrm{Spec}(k)$ $X$ $k$- esquema). El caso de (pre)poleas es bastante diferente, y el retroceso en este caso es mejor descrito por el categórico de la noción de Kan extensión (ver Yoneda extensión en el nLab).