¿Por qué es el casco afín del círculo unidad $\mathbb R^2$?

Question

En "Optimización convexa" de Boyd define el casco afín de un subconjunto $C$ $\mathbb R^n$

$$\text{aff} C = \left\{\theta_1 x_1 + \ldots +\theta_k x_k \mid x_1, \ldots x_k \in C, \theta_1 + \ldots \theta_k = 1 \right\}.$ $, Afirma $\text{aff } U = \mathbb R^2$ si $U$ es el círculo unitario. ¿Por qué es esto? ¿No es ningún arco (o subconjunto convexo del círculo) totalmente contenida en el círculo? Creo $\text{aff } U = U$ si $U$ es el círculo unitario.

Answer 1

Supongo que sé su confusión. El punto es que $\theta_i$ no se obliga a ser mayor que cero. Así que ahora puede entender por qué tres puntos no colineales llenará el % todo $\Bbb R^2$.

Answer 2

Tomar cualquier punto en $\mathbb R$. Siempre podemos dibujar una línea a través de ella que pasa por dos puntos en el círculo. Esto significa que se encuentra en la misma línea que pasa por los puntos en el círculo unitario.

Es la definición de casco afín. Por favor me rectifique si estoy equivocado.

Answer 3

El círculo unidad $U$ es el conjunto de todos los puntos (x,y) tal que $x^2 + y^2 = 1$. Así que, si tomamos los afín casco de $U$, se generará $\mathbb{R}^2$ ya que existe al menos 3 sin puntos colineales en $U$.

En particular, todo lo que tenemos que mirar es un elemento del subconjunto de la unidad de círculo, donde los tres puntos no se encuentran a lo largo de una línea con el fin de generar $\mathbb{R}^2$ como un conjunto afín de combinaciones.

Si usted todavía está confundido por mi respuesta y LVK la respuesta, es posible que desee revisar la definición de dimensión y afines de combinación.