Definición de la Mentira coalgebra

Question

No entiendo cómo la Mentira coalgebra está definido. La literatura nunca es muy explícito en cómo se construye. Así que me preguntaba si alguien podría facilitarme un ejemplo sencillo de cómo la Mentira coalgebra se construye. Digamos, por $\mathfrak{so}(3)$?

Answer 1

Aquí es una manera de definir una Mentira coalgebra de la estructura de un espacio vectorial $V$. El cobracket es un mapa de $\Theta\colon V\to V\otimes V$ satisfactorio antisymmetry y co-Jacobi. Antisymmetry significa que $\Theta$ induce un mapa de $V\to V\wedge V$. Luego co-Jacobi significa que si $\Theta(v)=\sum_{i\in I} r_i v_i\wedge w_i$ donde$r_i\in\mathbb R$,$\sum_{i\in I} r_i \Theta(v_i)\wedge w_i + v_i\wedge \Theta(w_i)=0$. Una manera de pensar en esto es que hemos ampliado $\Theta$ a todo el exterior de álgebra $\Lambda V$ como una derivación, y la co-Jacobi identidad es equivalente a decir que el $\Theta^2=0$.

Este es dual a una formulación de la Mentira álgebra axiomas. Dado un mapa de $b:V\wedge V\to V$, la extendemos a $\Lambda V$ como coderivation. A continuación, la identidad de Jacobi es equivalente a $b^2=0$.

La conexión entre una Mentira álgebra $\mathfrak g$ y su dual $\mathfrak g^*$ es que el soporte de la $b\colon \mathfrak g\otimes \mathfrak g\to \mathfrak g$ es dual a $\Theta\colon \mathfrak g^*\to\mathfrak g^*\otimes \mathfrak g^*$. Por ejemplo, tome $\mathfrak{sl}_2$, con tres generadores, $E,F,H$ con soporte definido por $$[H,E]=2E,\,\,\, [H,F]=-2F,\,\,\, [E,F]=H.$$

Ahora tome una base para $\mathfrak{sl}_2^*$$E^*,F^*,H^*$, el doble de los generadores a base $E,F,H$. Entonces tenemos $$\Theta(H^*)=E^*\otimes F^*-F^*\otimes E^*$$ $$\Theta(F^*)=-\frac{1}{2}(H^*\otimes F^*-F^*\otimes H^*)$$ $$\Theta(E^*)=\frac{1}{2}(H^*\otimes E^*-E^*\otimes H^*)$$ La regla general aquí es que $\Theta (X)=\sum_{i,j} r_{i,j} X_i\otimes X_j$ donde $X_i,X_j$ ejecuta a través de todos los pares de base de elementos $[X_i,X_j]=cX+\cdots$ $c\neq 0$ y que en caso de $r_{i,j}:=c^{-1}$.

Answer 2

Como lo que yo puedo decir, la noción de una Mentira coalgebra fue introducido por primera vez en el papel de "Mentira coalgebras" por Walter de Michaelis (Avances en Matemáticas, Volumen 38, número 1). Aunque yo no lo he comparado con cuidado, creo que la definición no coincide con el Gruñón de Chirivía dio.