Hay solamente radial de movimiento en el Hidrógeno, el estado del suelo?

Question

El estado fundamental del átomo de Hidrógeno es esféricamente simétrica. En otras palabras, la función de onda Psi sólo depende de la distancia r del electrón del núcleo.

Como consecuencia, todos los derivados de Psi con respecto a los ángulos de theta y phi rendimiento cero.

¿Esto implica que el promedio de la energía cinética en el estado fundamental [de la cual se pueden calcular sin dificultad a partir de la función de onda] es determinada exclusivamente por la radial de movimiento de los electrones?

Si es así, que sería un lugar extraño resultado. Digamos que el electrón está en la posición (x, 0, 0). Entonces la energía cinética sería el resultado de movimiento ya sea fuera del núcleo (dirección +x) o hacia el núcleo (-x), pero no de movimiento perpendicular al eje de las x. Así que, en esencia, el movimiento del electrón sería 1-dimensional, como un péndulo.

Answer 1

La densidad de probabilidad de que el estado es independiente del tiempo, por lo que no hay movimiento en este sentido. Sin embargo, la expectativa de valor de la energía cinética es cero, así que no hay movimiento en este sentido. ¿Cómo son estas nociones de movimiento reconciliado?

En primer lugar, clásicamente, si tenemos una partícula en un $1/r$ potencial y libera desde el reposo, que es bob atrás y de un lado a otro como un péndulo como el que usted describe. Pero en la mecánica cuántica no podemos decir que el electrón es de tomar cualquier ruta específica alrededor del protón. Como no hay ninguna ruta específica, no pueden conciliar estas nociones de movimiento con cualquier clásico de las ideas preconcebidas.

Vamos a discutir algunos diversas nociones de movimiento en la mecánica cuántica, que puede ayudar a usted aquí.

El estado fundamental del átomo de hidrógeno es $$ \psi(r,\theta,\phi,t) = A\, \exp\left(-\frac{r}{a}-i\frac{E t}{\hbar}\right)$$ Donde $A =\sqrt{\frac{1}{\pi a^3}},a=\frac{\hbar^2}{me^2},E=\frac{-m e^4}{8 h^2 \varepsilon_0^2}$

La radial impulso del operador en base a esto es: $$\vec{p}_r = -i\hbar\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}$$ donde $\hat{r}$ es el vector unitario radial (no un operador).

En el cálculo de la expectativa de valor de este: $$\langle \psi|\vec{p}_r|\psi\rangle = \int \psi^* (- i\manejadores\hat{r}\frac{\partial}{\partial r} \psi) \sin(\theta) r^2 dr\,d\theta\,d\phi = \int \psi^* (- i\manejadores\hat{r}\frac{-1}{a} \psi) \sin(\theta) r^2 dr\,d\theta\,d\phi $$

Debido a la simetría, esto por supuesto va a ser cero. Pero la densidad de término de la integral es

$$\psi^*(- i\hbar\hat{r}\frac{-1}{a} \psi) = i\hbar\frac{1}{a}(\psi^*\psi)\hat{r}$$

Esto podría ser lo que usted quiere interpretar como 'movimiento', pero desde $(\psi^*\psi)\ge 0$ esto es puramente imaginario y no tiene directamente interpretación física como movimiento. Como su imaginario, no es ni hacia o lejos del centro.

Otra noción de movimiento es la probabilidad de corriente:

$$ \vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^* \vec\nabla \psi - \psi \vec\nabla \psi^{*} \right)$$

Esto está relacionado con la conservación de la probabilidad:

$$ \rho = \left|\psi\right|^2,\quad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec\nabla \cdot \vec{j} = 0 $$

Para el hidrógeno, el estado del suelo tenemos:

$$ \vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}\hat{r}\left(\psi^* \left(\frac{\partial}{\partial r}\psi\right) - \psi \left(\frac{\partial}{\partial r}\psi^{*}\right) \right)$$ $$ = \frac{\hbar}{2mi}\hat{r}\left(\psi^* \left(\frac{-1}{a}\psi\right) - \psi \left(\frac{-1}{a}\psi^{*}\right) \right) = 0$$

No hay ninguna probabilidad de corriente en cualquier punto. Por lo que cualquier sentido en el que hay movimiento en algún lugar, la corriente neta en/fuera de este punto todavía es cero. Lo que me lleva a la única forma que conozco para hablar de "movimiento" aquí. Estamos escribiendo el estado en la posición de base, voy a hacer esto más claro, y también utilizar el concepto cartesiano de base para un poco: $$ |\psi\rangle = \int \phi(x,y,z,t)|x,y,z\rangle $$ El estado $|\phi\rangle$ es sino un vector en el infinito espacio vectorial, que es el espacio de Hilbert para el electrón aquí. Cuando escribimos $\phi(x,y,z,t)$ estos son realmente depende del tiempo de los componentes para cada elemento base $|x,y,x\rangle$ en la opción de base de este espacio vectorial. El estado $|1,0,0\rangle$ de por sí es el más cercano a la interpretación de su idea de comenzar con el electrón en decir x=1,y=0,z=0 y soltando a ver cómo se mueve.

Podemos empezar con este puro posición de estado y de ver cómo evoluciona según el operador Hamiltoniano. Desde este estado no es una energía eigenstate, se extendió (evolucionar a un estado que debe ser escrito como una super-posición de muchos de nuestros $|x,y,x\rangle$ base de los estados). No obstante, no se moverá como un péndulo, aunque el origen como usted se imagina. Se extienden en todas las direcciones (ya que por el principio de incertidumbre, una pura posición del estado es totalmente extendido en el impulso de espacio).

La magia de la tierra del estado es que si tenemos en cuenta esta especial ponderado de la super posición de un enorme (infinito) número de la posición de los estados individualmente difusión, que se extendió exactamente tal que la super posición de los estados sigue siendo el mismo y el actual neto es igual a cero en todos los puntos. Usted podría ver un poco de equilibrio como con el principio de balance detallado: la posición de los estados evolucionar en cada uno de los otros, pero la cantidad que se está "dejando" una pura posición del estado debe ser reemplazado con exactamente la misma cantidad que "la entrada" el estado en otra posición de los estados en este super posición.

Entonces, en un sentido, no hay movimiento (energía cinética es cero, el tiempo de evolución (operador Hamiltoniano) está en constante evolución pura posición de los estados en cada punto de difusión), pero el "movimiento neto" de la función de onda es cero (la probabilidad de corriente es cero) y la densidad de probabilidad es independiente del tiempo.

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Considere la posibilidad de esta sección, un comentario extendido:

Akrasia sugiere otra manera de mirar el movimiento aquí: impulso de la descomposición.

Básicamente, podemos también escribir el estado en términos de impulso base en el espacio de Hilbert. $$ |\psi\rangle = \int \phi(k_x,k_y,k_z,t)|k_x,k_y,k_z\rangle $$

Esta base, los estados están repartidas en todo el espacio (uniformemente). Así que no nos puede decir acerca del movimiento en algunos región. Pero podemos obtener una densidad de probabilidad, en este espacio, dando una noción de movimiento de las partes del estado. Y para el hidrógeno, el estado del suelo, que será construido como ondas estacionarias de oponerse al impulso de la base de los estados. Ya que estos cubren todo el espacio, el impulso de una llanura de onda estado no sólo en la dirección radial. Lo que en este sentido, el "movimiento" no es sólo en la dirección radial.

Aquí es un intercambio de la pila pregunta:
El hidrógeno de la función de onda en el impulso de espacio
Y aquí es un documento que pretende trabajar el hidrógeno de la función de onda esférico en el impulso de espacio.

Se encuentra en el estado fundamental a ser: $$\phi_{1,0,0} = \frac{1}{(p_r - i p_0)^2} \frac{1}{p_\theta^{1/2}}J_{1/2}(p_\theta)\delta(p_\phi)$$ Lo que significa que no hay una contribución de la base de los elementos no cero $p_\phi$ impulso, pero no es para los no-cero $p_\theta$. Que es sorprendente para mí, y no tengo tiempo para leer a través del papel a la derecha ahora. Así que sería mejor si alguien escribió una respuesta que cubre esta parte. Si que obra sobre papel, luego de que parece ser un muy buen noción de movimiento, por lo que para responder a la pregunta "¿sólo hay radial de movimiento en el Hidrógeno, el estado del suelo?".

Answer 2

Tiene dos preguntas que no son exactamente lo mismo. Uno es

Hay solamente radial de movimiento en el hidrógeno, el estado del suelo?

y la otra es

Si es así, que sería un lugar extraño resultado. Digamos que el electrón es en la posición $(x, 0, 0)$. Entonces la energía cinética sería el resultado de movimiento ya sea fuera del núcleo (en dirección a $+x$) o hacia el núcleo ($-x$), pero no de movimiento perpendicular a la $x$-eje.

Es importante entender por qué estos son escenarios diferentes: un electrón "en" la posición $(x,0,0)$ no puede estar en el estado fundamental. Un electrón del hidrógeno en estado fundamental tiene la posición de la distribución $$ \psi_\text{terreno}(r) = e^{-r/una} $$ donde CuriousKev es correcto que la normalización $A = 1/\sqrt{\pi a^3}$ y la escala de longitud $a = \hbar^2/me^2$ solo depende de que el electrón$^1$ masa $m$, la unidad de carga $e$, y el unidad de impulso angular $\hbar$. Sin embargo, un electrón en la posición $(x,0,0)$ tiene la posición distribución $$ \psi_\text{localizada}(r) = \delta^{(3)}(\vec r - (x,0,0)). $$ Dado que el hidrógeno orbitales electrónicos de forma completa ortonormales conjunto de funciones, se pueden utilizar las técnicas de análisis de Fourier para escribir $\psi_\text{localized}$ como una superposición de todos los ordinarios $\psi_{n\ell m}$; la superposición tendrá las contribuciones de los estados con todos los $n$ y $\ell$, pero sólo con las proyecciones de $m=0$. (Todos los angular impulso wavefunctions con proyección a $m\neq0$ se desvanecen en el $x$-$y$ avión).

Esta $\psi_\text{localized}$ no es un estado estacionario. La posición de los electrones se evolucionar como los diferentes componentes estacionarios $\psi_n$ evolucionar con sus diferentes frecuencias $E_n/\hbar$. Sin haber hecho el simulación yo esperaría que el "más probable" la posición de la electrón que se mueve inicialmente hacia el núcleo, pero para el de densidad de probabilidad para difundir a cabo tanto en el $x$-eje y en el $y$-$z$ plano. Así que el escenario tiene radial de la energía cinética, debido para el movimiento a lo largo de la $x$-eje, y transversal de la energía cinética, debido para la difusión de los paquetes en el $y$-$z$-plano.

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$^1$ Bueno, en realidad es la reducción de la masa $m = m_e / (1 + m_e/m_p)$, pero la diferencia es pequeña.

Answer 3

En promedio, no hay ningún tipo de movimiento, es decir, no es sistemática de los desplazamientos. Pero hay "fluctuaciones" con cero plazas promedio. Clásicamente, es como un movimiento Browniano en un espacio limitado. Pero dejemos de lado un cuadro clásico. Aparte de impulso de la representación de la función de onda, no es una simple prueba de que el electrón puede disponer de un número ilimitado de velocidad en el estado fundamental.

Vamos a considerar un proceso de la dispersión en la primera aproximación de Born. El proyectil es pesado (protones, por ejemplo). A partir de la cinemática de razonamiento, una de electrones no pueden esparcir un pesado de protones a grandes ángulos, hay una limitación de ángulo determinado con la relación de $m_e/m_p$. Sin embargo, la sección transversal de dispersión no cero para grandes ángulos. Aunque pequeña, la sección transversal nunca es cero. Esto es debido a que el electrón puede tener un alto instantánea de la velocidad en el momento de la dispersión y puede empujar una pesada proyectil en la espalda. El efecto de este último es descrito con la forma atómica-factor de $|F(\mathbf{q})|>0 $ para cualquier ángulo de dispersión.