De orden superior quandle

Question

La noción de quandle se sabe que está estrechamente relacionado con el nudo de la teoría. Los tres axiomas de la definición de quandle corresponden a los movimientos de Reidemeister.

Recientemente me enteré de que hay mayor análogos de movimientos de Reidemeister. Para la superficie de nudos. He oído que los siete movimientos de Roseman determinar clases de isotopía.

Hay una expresión algebraica de la estructura, que puede ser considerado como un 2-dimensinal analógica de quandle, correspondiente a Roseman se mueve?

Answer 1

La definición estricta de 2 quandle y ejemplos de los mismos no se ha escrito en un foro público todavía. Crans, Elhamdadi, Saito, y tengo una idea y ejemplos. Creo que Crans habló de la idea en Riverside, y voy a dar una charla al respecto en los Nudos en Washington el próximo fin de semana.

Yo no supongo que voy a tener las diapositivas listo antes de entonces. Si lo hago, voy a publicar en mi página web. Estoy pensando en la pizarra las conversaciones para la próxima conferencia.

Es todavía una conjetura que una débil 2-quandle es un axiomatization de la Roseman se mueve. Yo estoy jugando con un par de diagrama de esquemas para asegurarse de que todo funciona. También después de su pregunta, empecé desconcertante acerca de la tetraédrica mover. Este debe ser un teorema, y ahora parece ser un axioma.

Answer 2

Para cualquier codimension 2 incrustación que es localmente plano, no es una noción básica de la rejilla (no cada elemento es idempotente). En el espacio Euclidiano, es fundamental quandle. Se define como en el caso clásico: homotopy clases de caminos que comienzan en un tubo de barrio y que termina en el punto de base. La parte superior de la homotopy está obligado a permanecer en el punto de base, pero el fondo permanece en el tubular barrio. Más específicamente, dos caminos $a_0$ $a_1$ $a_j(0) \in \partial (N(K))$ $a_j(1)= {\mbox{ pt.}}$ son equivalentes si $\exists: A:[0,1]\times [0,1] \rightarrow {\bf R}^{n+2}$ tal que $A(j,t)=a_j(t)$$j=0,1$, mientras que $A(0,s)\in N(K)$ $A(1,s)={\mbox{pt.}}$

El quandle de que se siga $a$ para el punto de base, ir $b$ alrededor del meridiano a $b$ (en una orientada a la moda), y volver al punto de partida en $b$. Ver este manuscrito (en particular, la ilustración de la misma) para ver lo que está pasando.

En adicional a la fundamental quandle, hay quandle cocycle invariantes que detecta una gran cantidad de cosas sobre el clásico de los nudos y nudos de las superficies. Para el clásico de los nudos, el 2-cocycle invariante es la relativa a la elección de la longitud. Ver M. Eisermann. Homológica caracterización de la unknot. J. Pure Appl. Álgebra, 177(2):131-157, 2003 para este resultado.

Fenn y Rourke mostró que el 3-cocycle invariante para el clásico de los nudos podría detectar la quiralidad de el trébol.

El 3-cocycle invariantes de nudos superficies (y sus generalizaciones) son conocidos por dar buenos resultados acerca de la no-invertibility, los límites en el triple punto de números, y en el caso de los simétrica quandle homología, dan límites en el punto triple número de no-orientable superficies.

En las dimensiones superiores, uno puede demostrar que la mayor cocycle existen invariantes --- hay generalizaciones de la Roseman movimientos que se da a través de múltiples gérmenes (debido a Mond y otro autor), y el quandle $n$-cocycle condición corresponde a la $n$-simplex se mueven en este contexto. Hay una gran cantidad de trabajo que se puede hacer en este sentido. Creo que la mayoría de es directa.