¿Existe una representación integral para $\frac{1}{n!}$ ?

Question

Sé que $n!$ tiene varias representaciones integrales, por ejemplo la $\Gamma$ función. Me preguntaba si $\frac{1}{n!}$ tiene una representación integral.

Answer 1

$$ \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{e^{i\theta}} e^{-in\theta}\; d\theta $$

Answer 2

Siguiendo a @RobertIsrael, tenemos

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{e^{i\phi}}e^{-in\phi}d\phi=\oint_{|z|=1}e^{z}z^{-n}\frac{dz}{iz}\tag 1$$

Observamos que el integrando del lado derecho de $(1)$ tiene un polo de orden $n+1$ en $z=0$ . El residuo viene dado por

$$\text{Res}\left(-i\frac{e^z}{z^{n+1}},z=0\right)=\frac{1}{n!}\lim_{z\to 0}\frac{d^n}{dz^n}\left(z^{n+1}\frac{-ie^z}{z^{n+1}}\right)=\frac{-i}{n!}$$

Si lo ponemos todo junto, vemos que

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{e^{i\phi}}e^{-in\phi}d\phi=2\pi i \frac{-i}{2\pi n!}=\frac{1}{n!}$$

¡como se esperaba!

Answer 3

Se puede escribir la transformada inversa de Laplace de $1/s^{n+1}$ evaluado en $t=1$ , como $1/n!$ . La integral es $$ \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{1}{2\pi is^{n+1}}e^s\,ds=\frac{1}{n!}, $$ para un real adecuado $c$ .

Answer 4

Tomemos la fórmula de diferenciación de Cauchy: $$ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\, dz $$ y se introduce una holomorfa $f$ tal que $f^{(n)}(a)=1$ .

Por ejemplo, $f(z)=\exp(z)$ , $a=0$ y $\gamma$ el círculo de la unidad: $$ \frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{e^z}{z^{n+1}}\, dz $$ ¿Eso cuenta?