Probar que si $A^2x=x$ $Ax=x$

Question

Siento que esto debería ser fácil, pero no puedo resolver este problema:

Probar que si $A$ $n\times n$ matriz y $x$ un vector en $\mathbb R^n$ tanto con el real positivo entradas y $A^2x=x$$Ax=x$. Yo mirando los términos de la suma que define el producto en $AAx$ y comparando con las entradas de $x$ pero me llevará a ninguna parte. Me puedes dar alguna pista?

Answer 1

Por Perron Frobenius, ya $A^2$ es una matriz positiva entradas, tiene un único vector propio con coeficientes positivos, y un autovalor positivo. Asimismo, $A$ es una matriz con un resultado positivo de las entradas, por lo tanto tiene un único vector propio con coeficientes positivos. Deje que este vector se $v$, y el autovalor ser $\lambda > 0$. A continuación,

$$A^2 v = A (\lambda v ) = \lambda^2 v$$

lo que muestra que $v$ es un autovector de a $A^2$ $\lambda = 1$ (positivo de la raíz). Por lo tanto, $v$ $x$ son el mismo vector propio, lo que significa que $v$ es un (positivo) de varios de $x$. Por lo tanto, $Ax=x$.

Answer 2

Esto puede ser demostrado fácilmente sin el uso de Perron-Frobenius teorema. Por supuesto, tanto en $x$ $Ax$ son vectores propios de a $A^2$ para el autovalor $1$. Sin pérdida de generalidad, supongamos $c=\frac{(Ax)_n}{x_n}\le\frac{(Ax)_j}{x_j}$ por cada $j$. A continuación, $z=Ax-cx$ es no negativo de un vector cuya última entrada es cero. Sin embargo, $A^2$ es positiva y $A^2z=z$. Con el fin de que la última entrada de $A^2z$ es cero, $z$ debe ser el vector cero. Por lo tanto,$Ax=cx$$x=A^2x=c^2x$. Por lo tanto $c=1$$Ax=x$.