Una pregunta sobre la serie con una extraña propiedad.

Question

¿Existe una secuencia de $\left(a_n\right)_{n\ge1}$ con $a_n < a_{n+1}+a_{n^2}, \forall n=1,2,3,\ldots$ que la serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ converge?

Esta es la primera parte de esta pregunta que tiene una (aceptado) responder por su segunda parte sólo:
La última frase de la respuesta es:
"Ahora tenemos en cuenta que $\sum_{i=1}^{\infty}a_i\geq\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i\in J_k}a_i>\sum_{k=0}^{\infty}a_n$, por lo que la suma diverge."
Para que la desigualdad de $\sum_{i=1}^{\infty}a_i\geq\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i\in J_k}a_i$ para ser válida, tenemos que asumir que la positividad de $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ desde $\displaystyle{\bigcup_{k\in\mathbb N}J_k\neq\mathbb N}$.

De acuerdo a los comentarios de la primera parte es una pregunta difícil.

Answer 1

Sí, si los elementos negativos son permitidos, la serie puede ser hecho a converger. La idea básica es la primera revisión de los valores en la plaza de posiciones y, a continuación, utilizar el resto de la libertad para crear subsecuencias entre las posiciones que suma $0$ y cuyas sumas parciales están acotadas por una función decreciente. Específicamente, para cada $k \ge 1$ y $0 \le l \le 2k$, vamos a $a_{k^2 + l}=b_{k}(1 - c_{k,l})$, donde $(b_k)_{k\ge 1}$ es una secuencia positiva que converge monótonamente a cero, $c_{k,0}=0$ (so $a_{k^2}=b_{k}$), y $c_{k,l}$ es no decreciente para cada $k$. A continuación, para cada $k \ge 1$ y $0 \le l < 2k$ tenemos las "limitaciones internas," $$ b_{k}(1-c_{k,l})=a_{k^2+l}<a_{k^2+l+1}+a_{(k^2+l)^2}=a_{k^2+l+1}+b_{k^2+l}=b_{k}(1-c_{k,l+1})+b_{k^2+l}, $$ y por cada $k \ge 1$ tenemos la "restricción de combinación," $$ b_{k}(1-c_{k,2k}) = a_{k^2+2k}<a_{k^2+2k+1}+a_ {k^2+2k)^2}=b_{k+1}+b_{k^2+2k}. $$ Vamos a garantizar la interna restricciones se cumplen mediante la imposición de una estricta restricción por cada $k$: $$ \max_{0\le l < 2k}(c_{k,l+1}-c_{k,l})\le \frac{b_{(k+1)^2}}{b_{k}}; $$ con esto, vemos que $$ c_{k,l+1}-c_{k,l}\le \max_{0\le l < 2k}(c_{k,l+1}-c_{k,l})\le \frac{b_{(k+1)^2}}{b_{k}} < \frac{b_{k^2+l}}{b_{k}} $$ no tiene por cada $k$ y $l$. La combinación de restricción se cumple si $$c_{k,2k} > 1-\frac{b_{k+1}+b_{k^2+2k}}{b_k};$$ en particular, desde $(b_{k})$ es positiva, es suficiente para tener $c_{k,2k}\ge 1$. Ahora, por $k>1$ podemos tomar $c_{k,l}=1$, excepto por $c_{k,0}=0$, $c_{k,1}=1/2$, $c_{k,2k-1}=3/2$, y $c_{k,2k}=2$. Por $k=1$ tomaremos $c_{k,0}=0$, $c_{k,1}=1/2$, y $c_{k,2}=1$. A continuación, la combinación restricción se cumple, y la limitación interna se convierte en $$ \frac{b_{(k+1)^2}}{b_{k}} \ge \max_{0\le l < 2k}(c_{k,l+1}-c_{k,l})=\frac{1}{2}, $$ que los límites de cómo rápidamente $(b_{k})$ puede converger a $0$. Por ejemplo, podemos elegir $$ b_{k}=\frac{1}{\sqrt{\log(k+1)}}. $$ La secuencia resultante se hace lo que queremos. Por cada $k>1$, la larga a partir de la posición $k^2$ posición $(k+1)^2-1$, inclusive, las sumas a cero, y sus sumas parciales están nunca de más de $\frac{3}{2}b_{k}$, un límite que disminuye (aunque lentamente) a cero como $k\rightarrow\infty$. El conjunto de la serie, por lo tanto, converge a la suma de los tres primeros términos, que es de $\frac{3}{2}b_1$. La secuencia consiste en una serie de EEG-como el "repunte" de los cuatro valores distintos de cero en la plaza de posiciones; cada bache que tiene un poco más pequeña amplitud que el anterior.