¿La "independencia" de los momentos implica la independencia?

Question

Suppse se tienen dos variables aleatorias $X,Y$ y sabes que para cualquier $m,n$ que:

$$E(X^n Y^m) = E(X^n)E(Y^m)$$

¿Esto implica que $X$ $Y$ son independientes? Hay algunas condiciones en forma rápida los momentos crecer pueden ser añadidos para ayudar?

Intento de solución: Sé que si la característica de separación de las funciones como $E(e^{i(X,Y)\cdot(s,t)}) = E(e^{iXs})E(e^{iYt})$, (donde $.$ es el Schur producto) luego de la RV son independientes. Me gustaría tratar de aproximar esta por los momentos. Sin embargo, creo que usted puede ser que necesite alguna condición que los momentos de no crecer demasiado rápido para hacer este trabajo.

Answer 1

La respuesta es sí si la serie $$\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{t^m}{m!}\mathbb E|X|^m\quad\mbox{ and }\quad\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{t^n}{n!}\mathbb E|Y|^n$$ son convergentes para cada una de las $t$ (se sigue por el teorema de convergencia dominada, que da a la división de los géneros mencionados en el OP). Es el caso, en particular cuando se $X$ $Y$ son acotados.

Answer 2

El general la respuesta a su pregunta, no: "el momento de la independencia" no implica la independencia de la r.v.'s involucrados. Suponga que $$ E(X^n Y^m) = E(X^n)E(Y^m) \Rightarrow \int_{S_x}\int_{S_y}x^ny^mf_{XY}(x,y)dydx = \int_{S_x}x^nf_X(x)dx\int_{S_y}y^mf_Y(y)dy $$

$$\Rightarrow \int_{S_x}\int_{S_y}x^ny^m\left[f_{XY}(x,y)-f_X(x)f_Y(y)\right]dydx =0$$

En principio, esta integral iterada puede ser cero, mientras que $f_{XY}(x,y)-f_X(x)f_Y(y)\neq 0$ al mismo tiempo.

La habitual dificultad para encontrar ejemplos de variables aleatorias tales que presentan cierta "independencia" de los rasgos, pero no son independientes. Aún así, esto no cambia el resultado.