Esto es sobre natural transformaciones en la categoría de teoría.
Casi siempre, yo algo sé por qué algunos se define mapas o homomorphisms comportarse de forma natural, pero estoy casi nunca del todo seguro (si las cosas se ponen lo suficientemente complicada). Hace ya bastante tiempo, me preguntaba si hay algún tipo de truco de magia (otros diciendo que "es natural porque podríamos definir la transformación de todos los objetos al mismo tiempo"), que automáticamente le da connaturalidad de una transformación cuando se define sólo como una familia de mapas.
Por ejemplo, Yoneda está bellamente natural en todo lo que puede ser natural. Puede ser indicado como:
Si $\mathcal C$ es una categoría pequeña, entonces no es un isomorfismo natural de functors $\mathrm{Set}^{\mathcal C} × \mathcal C → \mathrm{Set}$ $$\mathrm{Ar}_{\mathrm{Set}^{\mathcal C}}(\mathrm{Ar}_{\mathcal C}(r,–),F) \cong Fr,$$ que es "natural tanto en $F$$r$"$F ∈ \operatorname{Ob} \mathrm{Set}^{\mathcal C}$$r ∈ \operatorname{Ob} \mathcal C$, dado por $$\mathrm{Ar}_{\mathrm{Set}^{\mathcal C}}(\mathrm{Ar}_{\mathcal C}(r,–),F) → Fr,~τ ↦ τ_r(\mathrm{1}_r).$$
A menudo sólo el bijection fija $F$ $r$ se prueba y no se dice nada acerca de la connaturalidad. Este no es sólo el caso de Yoneda. Cada vez que veo algo como esto, estoy tratando de probar la connaturalidad en el mío propio, pero muy a menudo me siento cansado y confundido, y me doy por vencido.
- Se le suponía sólo para "ver" la connaturalidad o es realmente tedioso trabajo para el lector?
- Hay algunos principios detrás mostrando connaturalidad en tales casos? ¿Cuáles son estos?
- ¿Cómo puedo expresar argumentos como que "ya que todos los mapas son definidos de la misma manera" en lenguaje matemático preciso? Es incluso posible?
- De manera más general, ¿cómo debo pensar de connaturalidad a aceptarlo siempre que se afirmó y razonable?
Estoy haciendo esta pregunta porque después de un semestre de Álgebra Lineal, he sido capaz de "ver" la linealidad de los mapas, después de dos semestres de Análisis, he sido capaz de "ver" la continuidad y la diferenciabilidad (al menos en los casos triviales), y así sucesivamente. Después de luchar con la categoría de la teoría de alrededor de cinco años, todavía no puedo "ver" connaturalidad. Lo que me estoy perdiendo?
