Esta es una pregunta sólo por interés para conocer el poder de la integración por partes. Hay varios niveles de integración por partes. ¿Cuáles son las formas más generales de integración por partes? La he encontrado muy a menudo en las EDP. Espero obtener más información al respecto. Gracias por sus ideas, ayuda y discusiones.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Todas las versiones de integración por partes que he visto se reducen a dos cosas.
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Teorema de Stokes: si $\omega$ es un $n-1$ formulario en $M$ y $n$ -con límite $\partial M$ entonces $$ \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega $$
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Regla de Leibniz para formas diferenciales: $$ \mathrm{d}(\eta \wedge \omega) = \mathrm{d}\eta \wedge \omega + (-1)^{\text{degree}(\eta)}\eta\wedge \mathrm{d}\omega $$
El único otro ingrediente que a veces se necesita es una limpieza básica proveniente de la geometría de Riemann y/o de la geometría diferencial: cosas como la relación entre las derivadas parciales covariantes o de coordenadas y la derivada exterior, y cómo escribir la divergencia de un campo vectorial como equivalente a la derivada exterior de su dual $n-1$ forma.
