¿Cómo demostrar si una función es biyectiva?

Question

Estoy teniendo problemas para poder demostrar formalmente cuándo una función es biyectiva (y por tanto, sobreyectiva e inyectiva). He aquí un ejemplo:

¿Cómo puedo demostrar que $g(x)$ es biyectiva?

\begin {align} f &: \mathbb R \to\mathbb R \\ g &: \mathbb R \to\mathbb R \\ g(x) &= 2f(x) + 3 \end {align}

Sin embargo, me temo que no sé realmente cómo hacerlo. Me doy cuenta de que el ejemplo anterior implica una composición (lo que hace las cosas un poco más difíciles). En cualquier caso, no entiendo cómo demostrarlo (sea una composición o no).

Para que sea inyectiva, creo que tengo que demostrar que diferentes elementos del codominio tienen diferentes preimágenes en el dominio . De acuerdo, pero, bueno, ¿cómo?

En cuanto a lo subjetivo, creo que tengo que demostrar que todos los elementos del codominio tienen una y sólo una preimagen en el dominio ¿no? ¡Tampoco sé cómo demostrarlo!

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f es una biyección. Lo siento, me olvidé de decirlo.

Answer 1

He trabajado en una cámara que tiene como una de sus características principales la capacidad de aumentar los FPS hasta contar fotones individuales. Aquí está uno de los pdfs al respecto. En las figuras se puede ver que hay una compensación intrínseca entre el ruido/calidad de la imagen y los FPS, que se debe simplemente a las estadísticas del ruido del recuento de fotones a medida que se obtienen menos fotones. Véase, por ejemplo, la figura 7, en la que se examinan las estadísticas de los fotones en función de distintos intervalos temporales y espaciales. Este tipo de análisis es muy relevante en los límites de poca luz, donde estamos naturalmente hambrientos de fotones, pero debería ser claro ver que el mismo concepto se extendería a un límite de alta luz, sólo con la capacidad de ir a tiempos de fotogramas más cortos de lo que somos capaces actualmente.

Una vez que se llega a un periodo de tiempo MUY corto, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg empezaría a perturbar gravemente la imagen. Dado que $\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \approx 5.3\times10^{-35}~\textrm{Js}$ y un fotón azul está alrededor de $5.0\times10^{-19}~\textrm{J}$ Eso nos deja en alrededor de $1.1\times10^{-16}~\textrm{s}$ como el marco de tiempo en el que la medición es tan corta que la incertidumbre energética sería equivalente a la energía de los fotones que intentamos observar. En ese momento todo sería un borrón ruidoso y, por lo tanto, este es probablemente un límite fundamental para la luz visible.

Answer 2

En primer lugar, demuestre que $g$ es inyectiva ( $1$ - $1$ ) demostrando que si $g(x)=g(y)$ entonces $x=y$ . Esto no es difícil: si $g(x)=g(y)$ entonces $2f(x)+3=2f(y)+3$ por lo que por álgebra elemental $f(x)=f(y)$ . Por hipótesis $f$ es una biyección y por tanto inyectiva, por lo que $x=y$ .

Ahora demuestre que $g$ es suryente. Para ello, hay que demostrar que para cada $y\in\Bbb R$ hay algo de $x\in\Bbb R$ tal que $g(x)=y$ . Eso requiere encontrar un $x\in\Bbb R$ tal que $2f(x)+3=y$ o, de forma equivalente, tal que $f(x)=\frac{y-3}2$ . Pero $f$ se sabe que es una biyección y por tanto una suryección, por lo que se sabe que hay es tal $x\in\Bbb R$ .

En general, ésta es una de las dos formas naturales de demostrar que una función es biyectiva: mostrar directamente que es inyectiva y sobreyectiva. La otra es construir su inversa explícitamente, mostrando así que tiene un inverso y por lo tanto que debe ser una biyección. Podrías adoptar ese enfoque para este problema también:

$$g^{-1}(y)=f^{-1}\left(\frac{y-3}2\right)\;,$$

desde

$$\begin{align*} g\left(f^{-1}\left(\frac{y-3}2\right)\right)&=2f\left(f^{-1}\left(\frac{y-3}2\right)\right)+3\\ &=2\left(\frac{y-3}2\right)+3\\ &=y\;, \end{align*}$$

y como $f$ es una biyección, $f^{-1}\left(\frac{y-3}2\right)$ existe para cada $y\in\Bbb R$ .

Añadido: Como me recuerda Marc, esto es sólo la mitad del trabajo: si se adopta este enfoque, hay que demostrar directamente que $g$ es inyectiva, como hice anteriormente, o verificar que la función que llamé $g^{-1}$ anterior es una inversa de dos lados, es decir, que $g^{-1}\big(g(x)\big)=x$ para $x\in\Bbb R$ . Esto no es particularmente difícil en este caso:

$$\begin{align*} g^{-1}\big(g(x)\big)&=g^{-1}\big(2f(x)+3\big)\\ &=f^{-1}\left(\frac{\big(2f(x)+3\big)-3}2\right)\\ &=f^{-1}\big(f(x)\big)\\ &=x\;, \end{align*}$$

desde $f$ es una biyección.

Answer 3

Para demostrar que una función es biyectiva, hay que demostrar que es inyectiva y también suryectiva.

"Inyectiva" significa que no hay dos elementos en el dominio de la función que se asignen a la misma imagen.

"Surjetivo" significa que cualquier elemento en el rango de la función es alcanzado por la función.

Demostremos primero que $g(x)$ es inyectiva. Si $g(x_1) = g(x_2)$ , entonces obtenemos que $2f(x_1) + 3 = 2f(x_2) +3 \implies f(x_1) = f(x_2)$ . Desde $f(x)$ es biyectiva, también es inyectiva y por tanto obtenemos que $x_1 = x_2$ .

Ahora demostremos que $g(x)$ es suryente. Consideremos $y \in \mathbb{R}$ y mira el número $\dfrac{y-3}2$ . Desde $f(x)$ es suryente, existe $\hat{x}$ tal que $f(\hat{x}) = \dfrac{y-3}2$ . Esto significa que $g(\hat{x}) = 2f(\hat{x}) +3 = y$ . Por lo tanto, dado cualquier $y \in \mathbb{R}$ existe $\hat{x} \in \mathbb{R}$ tal que $g(\hat{x}) = y$ . Por lo tanto, $g$ también es sobreyectiva.

Por lo tanto, $g(x)$ es biyectiva.

En general, si $g(x) = h(f(x))$ y si $f(x) : A \to B$ y $h(x): B \to C$ son ambas biyectivas, entonces $g(x): A \to C$ también es biyectiva.

En su caso, $f(x)$ era biyectiva desde $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $h(x) = 2x+3$ también es biyectiva desde $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Answer 4

No has dicho lo suficiente sobre la función $f$ para decir si $g$ es biyectiva.

"Inyectiva" significa que diferentes elementos del dominio siempre se asignan a diferentes elementos del codominio.

"Surjetivo" significa que cada elemento del codominio tiene al menos una preimagen en el dominio.

Edición posterior: Lo que has añadido ahora que $f$ es una biyección nos lleva al punto en el que podemos responder a la pregunta Sin embargo, tal vez deberías mirar lo que escribí arriba. Dado que las dos definiciones que he dado contradicen lo que has escrito, eso podría ser suficiente para llegar a ese punto.