Integral de la $\int \frac{\sin(x)}{3\cos^3(x)+\sin^2(x)\cdot\cos(x)}\,dx$

Question

Así que, desde aquí, $$\int \frac{\sin(x)}{3\cos^3(x)+\sin^2(x)\cdot\cos(x)} dx$$ Yo dividido por cos(x) y tengo $$\int \frac{\tan(x)}{2\cos^2(x)+1} dx$$ Pero estoy atascado aquí. Traté de sustituir $t=\cos(x)$

$$\int \frac{-1}{t\cdot(2t^2+1)} dt$$

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Solución alternativa

$$\int \frac{\sin(x)}{3\cos^3(x)+\sin^2(x)\cos(x)} dx=\int \frac{\tan(x)}{2\cos^2(x)+1} dx= \int \frac{1}{\cos^2(x)} \frac{\tan(x)}{2+\sec^2(x)} dx$$

Por lo tanto, después de $t= \tan(x)$ consigue

$$\int \frac{t dt}{t^2+3} $$

Answer 2

A partir de la última integral, el uso de $\frac{1}{t(2t^2+1)}=\frac{1}{t}-\frac{2t}{2t^2+1}$. Ahora, usted tiene: $$\int \frac{1}{t\cdot(2t^2+1)} \, \mathrm{d}t=\int \frac{1}{t} \, \mathrm{d}t-\int \frac{2t}{2t^2+1} \, \mathrm{d}t=\ln|t|-\frac{1}{2}\ln|2t^2+1|+C$$

Answer 3

$$ \int \frac{\sin(x)}{3\cos^3(x)+\sin^2(x)\cdot\cos(x)}\,dx = \int \frac{1}{3\cos^3(x)+\sin^2(x)\cdot\cos(x)}\,\Big(\sin x \,dx\Big) $$ $$ = \int \frac{1}{3\cos^3(x)+(1-\cos^2 x)\cdot\cos(x)}\,\Big(\sin x \,dx\Big) = \int \frac{1}{3u^3 + (1-u^2)u}\,(-du) $$ A continuación, el uso parcial de las fracciones.

Editar más tarde, en respuesta a los comentarios: $$ \int \frac{1}{3u^3 + (1-u^2)u}\,(-du) = \int\frac {du}{u(2u^2 + 1)} = \int \frac{A}{u} + \frac{Bu+C}{2u^2+1} \, du $$ Dos logaritmos, además de un arco tangente.