¿Cuál es la forma correcta de pensar acerca de / representar general apuntados?

Question

Para el periódico/simétrica apuntados, parece algo "obvio" para mí que todo se reduce a la elaboración de la derecha el grupo de simetrías para cada una de las pertinentes formas/baldosas, pero no es claro para mí si que lleva en cualquier agradable algebraicas camino para la más complicada de objetos tales como un mosaico de penrose y siguiendo la wikipedia sólo conduce a la afirmación de que groupoids entran en juego, pero sin referencias a ejemplo de las construcciones! Por otra parte, al menos, ingenuamente, pensando, parece que cualquier enfoque algebraico, naturalmente, debe aplicarse también a los fractales.

1. ¿qué referencias soy yo de alguna manera no son capaces de encontrar que hacer un buen trabajo de hablar al respecto de esto?
2. es mi "intuición" de que la estructura matemática para al menos algunas clases de los fractales y los cuasicristales equivalente correcto?

Answer 1

Mosaicos aperiódicos puede ser pensado (a veces de manera útil) como las hojas de sierras de cinta; el groupoid en cuestión (como en el de Emily respuesta) es entonces el holonomy groupoid de la laminación.

No hay un estándar de descripción de los mosaicos de Penrose en esta manera; creo que de irracional (es decir, un $R^2$) $R^n$ algunos $n>2$, y considerar el conjunto de 2-dimensiones de las caras de la $Z^n$ celosía en $R^n$ que cortan un (uniforme) espesado tubular barrio de su avión. Proyecto de cada una de estas 2 dimensiones de la cara de forma perpendicular a su plano, el resultado es una aperiódica suelo de baldosas. Si el irracional pasa a ser elegido con extra de simetrías (por ejemplo, podría ser un subespacio propio de un número finito de orden del elemento en $GL(n,Z)$) uno se pone bastante un azulejo conjunto con extra "parcial simetrías". El mosaico de Penrose es de este tipo: pensar de $Z/5Z$ permuting los ejes de coordenadas en $R^5$. Esto soluciona el vector $(1,1,1,1,1)$ y tiene dos perpendiculares irracional de los subespacios propios sobre la que actúa como una orden de 5 de rotación; se traduce de estos subespacios propios dan lugar a la "norma" mosaicos de Penrose.

La laminación en este caso es el "irracional foliación" del toro $R^5/Z^5$ por planos con pendiente igual a la pendiente de la $R^2$ (y uno puede imaginar fácilmente las generalizaciones).

Answer 2

Esto me recuerda a una charla que vi por Lorenzo Sadun hace un par de años, aunque no estoy seguro exactamente por qué. (Cuando pienso acerca de mosaicos estoy pensando más en el combinatoria que parece que son.) Se puede echar un vistazo a algunos de Sadun los papeles o su recién publicado notas de la conferencia de la Topología de Mosaico de Espacios.

Answer 3

Para el periódico apuntados, el proyecto de Ley de Thurston y JH Conway diría que es mejor pensar en el orbifolds de embaldosados de sus grupos de simetría: este es el enfoque para la clasificación de plano de simetría de grupos y varias otras cosas Conway y Burgiel y Goodman-Strauss disfrutar de las hermosas Las simetrías de las cosas, que sale bastante ingenioso, diría yo.

No tengo idea de si esto va a través de mosaicos aperiódicos.

Answer 4

En las respuestas a "¿qué es un groupoid" yo estaba apuntado a Alan Weinstein muy agradable notificaciones artículo.

El primer ejemplo que da (antes de la definición de un groupoid) es acerca de mosaicos, y cómo la groupoid contiene más información que la que el grupo de automorfismos. Que resuelve el problema de Wikipedia no dar los ejemplos, al menos.