Toda secuencia real es la secuencia derivada de alguna función

Question

Estoy buscando la demostración del siguiente teorema:

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia de números reales números reales. Entonces existe una función $f$ que es infinitamente diferenciable en 0, y $$\frac{d^nf}{dx^n}(0) = a_n, \ \ \text{for all } n.$$

Agradecería un boceto de la prueba o una referencia en línea de la misma. Un caso general es el siguiente El lema de Borel en Wikipedia, sin pruebas.

Lo difícil es cuando la serie de potencia $\sum_n \frac{a_n}{n!}x^n$ tiene un radio de convergencia nulo.

Edición: ¡Gracias por las respuestas!

Answer 1

Como ha mencionado, este es un resultado de Borel. Las pruebas se pueden encontrar en varias fuentes, ver por ejemplo el libro sobre "Variables complejas" de Berenstein y Gay (puede ser sólo un ejercicio allí, pero al menos hay una "pista"). La idea es probar una serie de potencias. Por supuesto, esto puede no converger, por lo que se utiliza el tipo de funciones que vienen en las construcciones de las particiones suaves de la unidad para ayudar a la convergencia; el punto es que se puede asegurar que estas funciones decaen a cero lo suficientemente rápido.

Editar: De hecho, hay una prueba en Wikipedia. Véase aquí .

Y hay otro pregunta donde se esbozan las pruebas. En particular, en mi respuesta esbozo una prueba de Peano que es diferente de la prueba estándar a la que me refiero arriba.

Answer 2

Este es un famoso teorema de Borel. Si tienes el libro de Hormander "The analysis of partial differential operators I" es el teorema 1.2.6. Demuestra el resultado en cualquier dimensión. La idea básica es escribir una suma de funciones $\sum_n {a_n \over n!}\phi(m_n x)x^n$ donde $\phi(x)$ es $1$ cerca de $x = 0$ y es igual a cero fuera de un pequeño conjunto que contiene $0$ . Si el $m_n$ se eligen cuidadosamente, la suma tendrá las propiedades deseadas.