Entender el teorema de Lagrange (teoría de grupos)

Question

Estoy empezando con el Álgebra Abstracta y estoy tratando de entender el Teorema de Lagrange. El teorema dice

Para cualquier grupo finito $G$ el orden de cada subgrupo $H$ de $G$ debe dividir el orden de $G$ .

Parece sencillo y lo he utilizado para resolver algunos ejercicios pero creo que me falta la esencia. ¿Hay algún ejemplo que me ayude a entenderlo mejor, o a visualizarlo? ¿Hay alguna interpretación geométrica?

Answer 1

El mapa de multiplicación de la izquierda $x\mapsto ax$ es biyectiva en $G$ su inyectabilidad se desprende de la propiedad cancelativa de la operación del grupo, $ah=ag\iff h=g$ y la bijetividad global es una consecuencia del hecho de que tiene un mapa inverso, $x\mapsto a^{-1}x$ . Me gusta ver un subgrupo $H\le G$ como un "disco" y el sobregrupo $G$ como una "mesa de hockey de aire" en la que $H$ reside, y para desplazarse $H$ alrededor aplicamos la multiplicación por la izquierda por varios elementos. Si se multiplica por la izquierda por un elemento $a\in H$ No has movido el disco en absoluto desde $a\in H\iff H=aH$ .

Cada elemento $g\in G$ está en algún coset, o traslación a la izquierda, de $H$ - en particular, $g=ge\in gH$ ya que sabemos que $e\in H$ . Por lo tanto, la colección de todas las traslaciones (posibles lugares en los que se puede colocar el disco) de $H$ "cubrir" todo el cuadro de hockey aéreo. Queda, pues, por investigar la naturaleza de los solapamientos entre posiciones, es decir, las intersecciones de cosets distintos. Aquí está la prueba de que los cosets que se solapan de forma no trivial deben ser, de hecho, idénticos, puesta en forma visual:

$\hskip 0.6in$

Esto significa que los cosets de $H$ partición el grupo $G$ . Como la multiplicación por la izquierda es biyectiva, cada coset tiene el mismo tamaño, por lo que cada uno "parece" igual desde el punto de vista de la cardinalidad. Siguiendo con la idea de una mesa de hockey de aire, esto nos dice que las posiciones de los discos la matizan, por lo que tenemos algo así como

$\hskip 1.2in$

El significado más básico que se imputa a la multiplicación de los números naturales es el siguiente: si Alicia tiene $n$ bolsas que contienen cada una $m$ manzanas, entonces tiene $n\times m$ total de manzanas. Del mismo modo, nuestro grupo $G$ está cubierto por algún número $[G:H]$ de conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales contiene $|H|$ elementos, por lo que $|G|=[G:H]\times|H|$ . Obsérvese que esto es cierto incluso en el nivel de un infinito arbitrario cardenales . Así, $|H|$ es un divisor del orden $|G|$ : Teorema de Lagrange.

Lo contrario no es globalmente cierto: no todo divisor $d$ de $n=|G|$ corresponde a un subgrupo $H\le G$ de tamaño $|H|=d$ . La teoría de Sylow Sin embargo, el resultado es un local versión inversa: para cada potencia prima $q=p^r$ que es un divisor $q\mid n$ Hay un $p$ -subgrupo $H$ de tamaño $|H|=q$ .

Answer 2

Ya tienes varias explicaciones estupendas, pero también has pedido una forma de visualizarlo. Una forma de visualizar el Teorema de Lagrange es dibujar la tabla de Cayley de grupos (pequeños) resaltando los colores.

Aquí está la tabla de Cayley de un grupo dicíclico de orden $16$ con los cosets de su centro de orden $2$ destacado. El subgrupo propiamente dicho está formado por los elementos $\{ e, a \}$ (donde $e$ es la identidad), y se muestra en rojo. Los demás cosets aparecen con colores diferentes. Como el subgrupo, en este caso, es normal, la tabla es muy regular.

# The Maple code to produce this is:
> with( GroupTheory ):
> G := DicyclicGroup( 4 ):
> H := Centre( G  ):
> DrawCayleyTable( G, cosets = H );

He aquí otro ejemplo, en el que el subgrupo no es normal. Se trata del Sylow $2$ -subgrupo del grupo simétrico $S_{4}$ . Dado que el orden de $S_{4}$ es igual a $24$ El Sylow $2$ -el subgrupo tiene orden $8$ (e índice $3$ ), y cada coset tiene el mismo tamaño $8$ como subgrupo. Estos hechos quedan claros en la imagen.

No obstante, la estructura de bloques de los cosets sigue siendo bastante visible.

# Maple code for the second example:
> G := Symm( 4 ):
> DrawCayleyTable( G, cosets = SylowSubgroup( 2, G ) );

En cada caso, es visualmente claro que los cosets del subgrupo forman una partición "regular" de los elementos del grupo. Los tamaños de los bloques que forman cada coset son todos idénticos, por lo que forman un mosaico regular de la tabla de Cayley para todo el grupo.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Creo que la idea clave es que los grupos admiten "traducciones", es decir, transformaciones de la forma $\left\{ \begin{array}{ccc} G & \to & G \\ g & \mapsto & h \cdot g \end{array} \right.$ con $h \in G$ . Además, si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces las imágenes de $H$ por dos traducciones de este tipo son iguales o disjuntas; por lo tanto, se puede cubrir $G$ trasladando el subgrupo $H$ para obtener una partición de $G$ en $n$ copias disjuntas de $H$ . Deduce que $|G|=n|H|$ .

Answer 4

Lo más importante es que hay una correspondencia individual entre dos cualesquiera (digamos, la izquierda) cosets del subgrupo $H$ , es decir, el mapeo $$s\mapsto yx^{-1}s$$ toma el coset $xH=\{xh\,\mid h\in H\}$ a $yH$ y su inversa es $s\mapsto xy^{-1}s$ (porque $xy^{-1}yx^{-1}s=s$ para todos $s$ ).

Así, el tamaño de cada coset es el mismo ( $=|H|$ ), por lo que, si $|G|$ es finito, $|H|$ debe dividirlo. Stahl comentó un buen enlace para visualizar este hecho..

Answer 5

Por ejemplo, si el orden de G es 12, sólo podemos encontrar subgrupos de orden 1, 2, 3, 4, 6 y 12 que sean divisores de 12

Significa que no podemos encontrar un subgrupo de otro orden excepto los órdenes anteriores