Una desigualdad: $1+ \frac1 {2^2}+ \frac1 {3^2}+ \dotsb + \frac1 {n^2} \lt\frac53 $

Question

$n$ es un entero positivo, entonces

$$1+ \frac1 {2^2}+ \frac1 {3^2}+ \dotsb + \frac1 {n^2} \lt\frac53. $$

por favor no se refiera a la famosa $1+ \frac1 {2^2}+ \frac1 {3^2}+ \dotsb = \frac { \pi ^2}6$ .

Quiero encontrar una prueba mejor.

Mi estúpido método:

$$1+ \frac1 {2^2}+ \frac1 {3^2}+ \dotsb + \frac1 {n^2} \lt \left (1+ \frac1 {2^2}+ \dotsb + \frac1 {10^2} \right )+ \frac1 {10 \cdot11 }+ \dotsb + \frac1 {n(n-1)} \\ <1.549768...+ \frac1 {10} \lt\frac53 $$

Answer 1

Sugiero

$$ \sum_ {k=1}^n \frac {1}{k^2} \leqslant 1 + \sum_ {k=2}^n \frac {1}{k^2 - \frac14 } = 1 + \sum_ {k=2}^n \left ( \frac {1}{k- \frac12 } - \frac {1}{k+ \frac12 } \right ) = 1 + \frac23 - \frac {1}{n+ \frac12 }.$$

Answer 2

Mostramos por inducción que si $n \gt 1$ entonces $$1+ \frac {1}{2^2}+ \frac {1}{3^2}+ \cdots + \frac {1}{n^2} \lt \frac {5}{3}- \frac {2}{2n+1}.$$ El resultado es cierto en $n=2$ . Supongamos que el resultado se mantiene en $n=k$ . Mostramos que se mantiene en $n=k+1$ .

Por la suposición de la inducción, $$1+ \frac {1}{2^2}+ \frac {1}{3^2}+ \cdots + \frac {1}{k^2}+ \frac {1}{(k+1)^2} \lt \frac {5}{3}- \frac {2}{2k+1}+ \frac {1}{(k+1)^2}. \tag {1}$$ El lado derecho de (1) es igual a $$ \frac {5}{3}- \left ( \frac {2}{2k+1}- \frac {1}{(k+1)^2} \right ).$$ Ahora tenemos que mostrar que $ \frac {2}{2k+1}- \frac {1}{(k+1)^2} \gt \frac {1}{2k+3}$ o equivalente que $ \frac {4}{(2k+1)(2k+3)} \gt \frac {1}{(k+1)^2}$ . Así que mostramos que $4(k+1)^2 \gt (2k+1)(2k+3)$ . Esto es muy sencillo.

Answer 3

No sé si esto es "mejor", pero desde que $1/x^2$ está disminuyendo estrictamente, tenemos

$$ \sum_ {n=N+1}^ \infty {1 \over n^2} \lt\int_N ^ \infty {1 \over x^2}\,dx={1 \over N}$$

después de lo cual un poco de ensayo y error sistemático da

$$ \sum_ {n=1}^ \infty {1 \over n^2} \lt 1+{1 \over4 }+{1 \over9 }+{1 \over16 }+{1 \over25 }+{1 \over5 }={5989 \over3600 } \lt {6000 \over3600 }={5 \over3 }$$

Añadido más tarde : Se me ocurre que mi enfoque no es intrínsecamente diferente del método "estúpido" de la OP. Cada uno de nosotros básicamente argumenta que

$$ \sum_ {n=1}^ \infty {1 \over n^2} \lt1 +{1 \over4 }+ \cdots +{1 \over N^2}+{1 \over N}$$

para cualquier $N$ . Si hay algo estúpido en la solución de la OP (que en realidad no lo hay), es que no es necesario ir hasta el final para $N=10$ .