Prueba de que los valores propios son las entradas diagonales de la matriz triangular superior en Axler

Question

Este es el 5.18 de Axler's Linear Algebra Done Right:

Teorema : Supongamos que $T \in L(V)$ tiene una matriz triangular superior con respecto a alguna base de $V$ . Entonces los valores propios de $T$ consiste precisamente en las entradas de la diagonal de esa matriz triangular superior.

Prueba:

Supongamos que $(v_1, \ldots , v_n)$ es una base de $V$ con respecto a la cual $T$ tiene una matriz triangular superior donde las entradas diagonales son $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ .

Dejemos que $\lambda \in F$

Entonces para la matriz $M(T - \lambda I$ ) donde las entradas diagonales son $\lambda_1 - \lambda, \ldots \lambda_n - \lambda.$ Podemos suponer que estamos tratando con espacios vectoriales complejos. A partir de 5.16 donde hemos demostrado que $T$ no es invertible si uno de los $\lambda_k$ 's es igual a $0$ . Por lo tanto, $T - I$ no es invertible si y sólo si $$ equals one of the $ j $'s. In other words, $$ es un valor propio de $T$ si y sólo si $$ equals one of the $ j$s, como se desee.

Pregunta:

Esto sólo demostró que una de las entradas diagonales es un valor propio, pero no todas, como afirmaba el teorema.

Answer 1

Entiendo que esta expresión (que es común en la escritura matemática) pueda parecer confusa, pero lo que el autor está diciendo es correcto. Cuando dice que

$\lambda$ es un valor propio de $T$ si y sólo si $\lambda$ es igual a uno de los $\lambda_j$ 's

quiere decir que

$\lambda$ es un valor propio de $T$ si y sólo si $\lambda\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$

o, para decirlo de otra manera,

$\lambda$ es un valor propio de $T$ si y sólo si $\lambda=\lambda_1$ o $\lambda=\lambda_2$ ..., o $\lambda=\lambda_n$

Así, si pongo $\lambda$ igual a $\lambda_1$ el lado derecho del bicondicional es verdadero, por lo que $\lambda$ es un valor propio de $T$ cuando $\lambda=\lambda_1$ y de forma similar con todo de las entradas diagonales $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ .