Un problema en la comprensión de infinito torres (tetration)

Question

Para resolver ecuaciones que involucran torres de energía (infinito tetration) generalmente hacemos algo como esto:

$$x^{x^{x^{x^{\dots}}}} =k$$

$$x^{(x^{x^{x^{\dots}}})} =k$$

$$x^k=k$$

$$x=\sqrt[k]k$$

Pero lo que si puedo hacer algo como esto:

$$x^{x^{(x^{x^{\dots}})}} =k$$

$$x^{x^k}=k$$

$$x^k\ln x=k$$

$$e^{k\ln x}\ln x=k$$

$$e^{k\ln x}k\ln x=k^2$$

$$x=e^{\frac {W(k^2)} k}$$

Donde $W(z)$ es la función W de Lambert.

Este dos de expresión debe ser igual así que ¿cómo puedo demostrarlo ? Si no son iguales que me estoy perdiendo algo con la definición de infinito tetration ? Y ¿qué pasa si trato de resolver la ecuación de hacer esto (y así sucesivamente) ?:

$$x^{x^{x^{(x^{\dots})}}} =k$$

$$x^{x^{x^k}}=k$$

Answer 1

En realidad, usted fija $x$ y usted está tratando de encontrar el límite, así que en el primer caso, si $k$ es el límite, a continuación, $\sqrt[k]k=x$ y en el segundo caso si $k$ es el límite, a continuación, $x=e^{\frac{W(k\ln(k))}{k}}$ ( se ha cometido un error), pero en realidad las dos ecuaciones son equivalentes : $$x=\sqrt[k]k\iff x=e^{\frac{\ln(k)}{k}}\iff x=e^{\frac{W(k\ln(k))}{k}}$$ utilizando el hecho de que $W(k\ln(k))=\ln(k)$.

Para mayor orden que va a tener la misma expresión, el límite es único y puede ser demostrado rigurosamente bajo ciertas condiciones.