La convergencia de las diferenciada de alimentación de la serie

Question

Considere la posibilidad de $\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ y supongamos que $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)$ converge.

Demostrar que $\forall z \in \mathbb C, \displaystyle\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(z)$ converge.

Estoy bastante perplejo.

La convergencia $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)$ indica que $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n! a_n$ converge.

Entonces, ¿qué ?

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Poner $R_n=\sum_{k\geq n} k! a_k$. Tenemos $R_n\to 0$ $n$ va al infinito.

Deje $N>0$. Tenemos para $n\geq 0$

$$f^{(n)}(z)=\sum_{k\geq n} k! a_k \frac{z^{k-n}}{(k-n)!}=\sum_{l\geq 0} (n+l)! a_{n+l}\frac{z^l}{l!}$$ y por lo tanto $$\sum_{n=0}^N f^{(n)}(z)=\sum_{n=0}^N (\sum_{l\geq 0} (n+l)! a_{n+l})\frac{z^l}{l!}$$

Tenemos un número finito de la serie, así que uno puede intercambiar las sumatorias:

$$\sum_{n=0}^N f^{(n)}(z)=\sum_{l\geq 0}(\sum_{n=0}^N (n+l)! a_{n+l} ) \frac{z^l}{l!}=\sum_{l\geq 0} (R_l-R_{l+N+1})\frac{z^l}{l!}$$

Por lo tanto, si $g(z)=\sum_{l\geq 0}R_l\frac{z^l}{l!}$, tenemos:

$$\sum_{n=0}^N f^{(n)}(z)-g(z)=-\sum_{l\geq 0}R_{N+l+1}\frac{z^l}{l!}$$

Fix $\varepsilon>0$. Como $R_m$ va a cero, como se $m\to \infty$, podemos encontrar $M$ tal que para todos los $n\geq M$,$|R_n|<\varepsilon$. Esto da a los si $N\geq M$:

$$|-\sum_{l\geq 0}R_{N+l+1}\frac{z^l}{l!}|\leq \sum_{l\geq 0}\varepsilon\frac{|z|^l}{l!} =\varepsilon \exp(|z|)$$ y esto acabado la prueba.

Answer 2

Mi respuesta es más una sugerencia que una respuesta, ya que se aplica sólo si la convergencia de $\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)$ es asumido a ser absoluta.

En ese caso, calcular \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}f^{\left(n\right)}\left(z\right) & = & \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{\ell=n}^{\infty}a_{\ell}\frac{\ell!}{\left(\ell-n\right)!}\cdot z^{\ell-n}\\ & \overset{\left(\ast\right)}{=} & \sum_{\ell=0}^{\infty}\left[a_{\ell}\cdot\ell!\sum_{n=0}^{\ell}\frac{z^{\ell-n}}{\left(\ell-n\right)!}\right]\\ & \overset{k=\ell-n}{=} & \sum_{\ell=0}^{\infty}\left[a_{\ell}\cdot\ell!\cdot\sum_{k=0}^{\ell}\frac{z^{k}}{k!}\right], \end{eqnarray*} donde he utilizado la convergencia absoluta de $\sum_{\ell=0}^{\infty}a_{\ell}\cdot\ell!$ para justificar el intercambio de suma en $\left(\ast\right)$ por tomando nota de que \begin{eqnarray*} & & \sum_{\ell=0}^{\infty}\left[\left|a_{\ell}\cdot\ell!\right|\cdot\sum_{n=0}^{\ell}\left|\frac{z^{\ell-n}}{\left(\ell-n\right)!}\right|\right]\\ & = & \sum_{\ell=0}^{\infty}\left[\left|a_{\ell}\cdot\ell!\right|\cdot\sum_{k=0}^{\ell}\left|\frac{z^{k}}{k!}\right|\right]\\ & \leq & e^{\left|z\right|}\cdot\sum_{\ell=0}^{\infty}\left|a_{\ell}\cdot\ell!\right|<\infty \end{eqnarray*} Esto también muestra que el final de la serie existe.

EDIT: cabe señalar que el final de la serie también existe, si la serie $\sum_{\ell=0}^{\infty}a_{\ell}\ell!$ es sólo supone que convergen condicionalmente. Para ver esto, observe que \begin{eqnarray*} \sum_{\ell=0}^{\infty}\left[a_{\ell}\ell!\cdot\sum_{k=0}^{\ell}\frac{z^{k}}{k!}\right] & = & e^{z}\cdot\sum_{\ell=0}^{\infty}a_{\ell}\ell!+\sum_{\ell=0}^{\infty}\left[a_{\ell}\ell!\cdot\left(\left(\sum_{k=0}^{\ell}\frac{z^{k}}{k!}\right)-e^{z}\right)\right]\\ & = & e^{z}\cdot\sum_{\ell=0}^{\infty}a_{\ell}\ell!-\sum_{\ell=0}^{\infty}\left[a_{\ell}\ell!\cdot\sum_{k=\ell+1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}\right].\qquad\left(\square\right) \end{eqnarray*} Ahora tenga en cuenta que $\left(a_{\ell}\cdot\ell!\right)_{\ell\in\mathbb{N}}$ es un null-secuencia, por tanto, limitada por algunos $C>0$. Esto implica \begin{eqnarray*} \sum_{\ell=0}^{\infty}\left[\left|a_{\ell}\ell!\right|\cdot\sum_{k=\ell+1}^{\infty}\left|\frac{z^{k}}{k!}\right|\right] & \leq & C\cdot\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{k=\ell+1}^{\infty}\frac{\left|z\right|^{k}}{k!}\\ & = & C\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{\left|z\right|^{k}}{k!}\left(\sum_{\ell=0}^{k-1}1\right)\right]\\ & = & C\cdot\left|z\right|\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left|z\right|^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\\ & = & C\cdot\left|z\right|\cdot e^{\left|z\right|}<\infty, \end{eqnarray*} de manera que el segundo de la serie en $\left(\square\right)$ incluso converge absolutamente.